実数ｘ、ｙが（ｘ＾２）＋（ｙ＾２）＜＝８を満たす時、
Ｘ＝ｘ＋ｙ、Ｙ＝（ｘ＾２）＋（ｙ＾２）－８
とするとき、点（Ｘ，Ｙ）の存在する領域の面積を求めよ。
という問題がわかりません。
よかったら明日ぐらいまでにしりたいんですが。
\(x^{2}+y^{2}\leq 8\)
NAMO_EQN__ 160 1 x^{2}+y^{2}\leq 8
の点（ｘ，ｙ）に対して、
\(X=x+y\)
NAMO_EQN__ 160 1 X=x+y
Ｙ＝ｘ
2
＋ｙ
2
－８
によって、変換した点（Ｘ，Ｙ）が描く領域はどうなるか
プログラムを作り、グラフ化してみました。
NAMO_EQN__ 160 1 X=x+y
と一緒に考えて、解の和と積と係数の関係より、
\(t^{2}-Xt+\frac{1}{2}(X^{2}-Y-8)=0\)
NAMO_EQN__ 160 1 t^{2}-Xt+\frac{1}{2}(X^{2}-Y-8)=0
ｘ，ｙの解が存在する範囲で、上の式の判別式Ｄ≧０より、
\(D=X^{2}-4\cdot \frac{1}{2}(X^{2}-Y-8)\geq 0\)
NAMO_EQN__ 160 1 D=X^{2}-4\cdot \frac{1}{2}(X^{2}-Y-8)\geq 0
\(X^{2}-2X^{2}+2Y+16\geq 0\)
NAMO_EQN__ 160 1 X^{2}-2X^{2}+2Y+16\geq 0
∴
\(Y=\frac{1}{2}X^{2}-8\)
NAMO_EQN__ 160 1 Y=\frac{1}{2}X^{2}-8
したがって、領域の面積は積分で求めると、
\(S=-\int ^{4}_{-4}(\frac{1}{2}X^{2}-8)dX=-\left[\)
NAMO_EQN__ 160 1 S=-\int ^{4}_{-4}(\frac{1}{2}X^{2}-8)dX=-\left[ \frac{1}{6}X^{3}-8X\right] ^{4}_{-4}=\frac{128}{3}
………（答）
NAMO_EQN__ 160 1 x^{2}+y^{2}\leq 8
の点（ｘ，ｙ）に対して、
\(X=x+y\)
NAMO_EQN__ 160 1 X=x+y
Ｙ＝ｘ
2
＋ｙ
2
－８
によって、変換した点（Ｘ，Ｙ）が描く領域はどうなるか
プログラムを作り、グラフ化してみました。
左が元の（ｘ，ｙ）で、右が移った先の（Ｘ，Ｙ）です。
グラフから見ると、 \(Y=\frac{1}{2}X^{2}-8\) となるようです。
式変形でこの式が出てこないかと、検討しましたが、
\(Y-X^{2}=-8-2xy\)
となり、ｘｙの項が消えないので、同僚の茂呂先生にアドバイスを求めた
ところ、これは受験テクニックでやり方があることを教えてもらいました。
変形して、 \(xy=\frac{1}{2}(X^{2}-Y-8)\)
\(X=x+y\)NAMO_EQN__ 160 1 X=x+y
と一緒に考えて、解の和と積と係数の関係より、
\(t^{2}-Xt+\frac{1}{2}(X^{2}-Y-8)=0\)
NAMO_EQN__ 160 1 t^{2}-Xt+\frac{1}{2}(X^{2}-Y-8)=0
ｘ，ｙの解が存在する範囲で、上の式の判別式Ｄ≧０より、
\(D=X^{2}-4\cdot \frac{1}{2}(X^{2}-Y-8)\geq 0\)
NAMO_EQN__ 160 1 D=X^{2}-4\cdot \frac{1}{2}(X^{2}-Y-8)\geq 0
\(X^{2}-2X^{2}+2Y+16\geq 0\)
NAMO_EQN__ 160 1 X^{2}-2X^{2}+2Y+16\geq 0
∴
\(Y=\frac{1}{2}X^{2}-8\)
NAMO_EQN__ 160 1 Y=\frac{1}{2}X^{2}-8
したがって、領域の面積は積分で求めると、
\(S=-\int ^{4}_{-4}(\frac{1}{2}X^{2}-8)dX=-\left[\)
NAMO_EQN__ 160 1 S=-\int ^{4}_{-4}(\frac{1}{2}X^{2}-8)dX=-\left[ \frac{1}{6}X^{3}-8X\right] ^{4}_{-4}=\frac{128}{3}
………（答）