\(y=ax^{2}-2x+2a+n+1\)

\(y=x^{2}-4ax-a+2n-1\)

この２つの曲線が常に共有点を持つには、

この連立の解が必ずあるわけだから、判別式Ｄ≧０となる。

\((a-1)x^{2}+(4a-2)x+(3a-n+2)=0\)

\(D\slash 4=(2a-1)^{2}-(a-1)(3a-n+2)\geq 0\)

\(a^{2}+(n-3)a-(n-3)\geq 0\)

\((a+\frac{n-3}{2})^{2}-\frac{(n-3)^{2}}{4}-(n-3)\geq 0\)

すべての実数ａに対して成り立つためには、

\((a+\frac{n-3}{2})^{2}\geq 0\) より、 \(-\frac{(n-3)^{2}}{4}-(n-3)\geq 0\)

\(-\frac{1}{4}(n-3)(n-3+4)\geq 0\)

\((n-3)(n+1)\leq 0\)

∴－１≦ｎ≦３

ｎは整数より、－１，０，１，２，３

したがって、５個ある。………（答）