公式　 \(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)\{ (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\}\) 　より、

\(a^{3}+b^{3}+c^{3}=\frac{1}{2}(a+b+c)\{ (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\} +3abc\)

条件ａ＋ｂ＋ｃ＝１より

\(=\frac{1}{2}\{ (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\} +3abc\) 　

　　　　　　　　　　　　　　　 \((a-b)^{2}\geq 0,(b-c)^{2}\geq 0,(c-a)^{2}\geq 0\) より

\(\geq 3abc=3(\frac{1}{3})^{3}=\frac{1}{9}\)

　　　　　　　　　　　　　　　等号が成り立つのは、 \(a=b=c=\frac{1}{3}\) 　

　　　　　　　　　　　　　　　（条件ａ＋ｂ＋ｃ＝１より）のとき。

したがって、最小値は　 \(\frac{1}{9}\) となる。

（別解）
相加相乗平均
\(\frac{a+b+c}{3}\geq ^{3}\sqrt{abc}\)
NAMO_EQN__ 160 1 \frac{a+b+c}{3}\geq ^{3}\sqrt{abc}
を利用して、
\(\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\geq ^{3}\sqrt{a^{3}b^{3}c^{3}}\)
NAMO_EQN__ 160 1 \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\geq ^{3}\sqrt{a^{3}b^{3}c^{3}}
\(a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3abc\)
NAMO_EQN__ 160 1 a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3abc
最小値は等号が成り立つときだから、ａ＝ｂ＝ｃ
ａ＋ｂ＋ｃ＝１より、
\(a=b=c=\frac{1}{3}\)
NAMO_EQN__ 160 1 a=b=c=\frac{1}{3}

\(3abc=3(\frac{1}{3})^{3}=\frac{1}{9}\) 　………（答）