数学的帰納法で証明してみます。
①ｎ＝１のとき

　　　　　１
　　左辺＝ ∑k(k+1)(k+2)＝１・２・３＝６
　　　　　k=1

　　　　　１
　　右辺＝―・１・２・３・４＝６
　　　　　４

　　したがって、左辺＝右辺

②ｎ＝ｍのとき成り立つと仮定して

　　　 m　　　　　　　１
　　　 ∑k(k+1)(k+2)＝―m(m+1)(m+2)(m+3)
　　　k=1　　　　　　 ４

　ｎ＝ｍ＋１のとき

　　　　　m+1
　　左辺＝ ∑k(k+1)(k+2)
　　　　　k=1

　　　　　m
　　　　＝Σk(k+1)(k+2)＋(m+1)(m+2)(m+3)
　　　　　k=1

　　　　　１
　　　　＝―m(m+1)(m+2)(m+3)＋(m+1)(m+2)(m+3)
　　　　　４

　　　　　　　　　　　　　　ｍ
　　　　＝(m+1)(m+2)(m+3)（――＋１）
　　　　　　　　　　　　　　４

　　　　　１
　　　　＝―(m+1)(m+2)(m+3)(m+4)＝右辺
　　　　　４

　　したがって、左辺＝右辺
①②より、すべての自然数ｎに対して、与式が成り立つ。