始めて投稿します。早速ですが、この問題を考えてください。
学校の宿題で出されたものです。
平面上の四角形ABCDの内角はどれも180°より小さいとする.
AB↑・BC↑＝BC↑・CD↑＝CD↑・DA↑＝DA↑・AB↑
が成立するとき,四角形ABCDは長方形であることを示せ.
という問題です・・・。
出来れば、明後日までには回答をお願いできますか？
\(\overrightarrow{BC}=(1,0)\) とし、
\(\overrightarrow{AB}=(a_{1},b_{1}),\overrightarrow{CD}=(a_{2},b_{2}),\overrightarrow{DA}=(a_{3},b_{3})\) とおくと、
条件の \(\overrightarrow{AB}\bullet \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}\bullet \overrightarrow{CD}\) より、 \(a_{1}=a_{2}\) ………①
条件の \(\overrightarrow{BC}\bullet \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CD}\bullet \overrightarrow{DA}\) より、 \(a_{2}=a_{2}a_{3}+b_{2}b_{3}\) ………②
条件の \(\overrightarrow{CD}\bullet \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}\bullet \overrightarrow{AB}\) より、 \(a_{2}a_{3}+b_{2}b_{3}=a_{1}a_{3}+b_{1}b_{3}\) ………③
①を③に代入して、
\(a_{1}a_{3}+b_{2}b_{3}=a_{1}a_{3}+b_{1}b_{3}\)
\(b_{2}b_{3}=b_{1}b_{3}\)
\((b_{2}-b_{1})b_{3}=0\)
\(b_{2}\neq b_{1}\) より、 \(b_{3}=0\) ………④
④を②に代入して、
\(a_{2}=a_{2}a_{3}+b_{2}\cdot 0=a_{2}a_{3}\)
\(a_{2}(1-a_{3})=0\)
\(a_{3}\neq 1\) より、 \(a_{2}=0\) ………⑤
⑤を①に代入して、 \(a_{1}=a_{2}=0\)
したがって、
\(\overrightarrow{AB}=(0,b_{1}),\overrightarrow{CD}=(0,b_{2}),\overrightarrow{DA}=(a_{3},0)\)
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=0\) より、
ｘ成分 \(0+1+0+a_{3}=0\) より、 \(a_{3}=-1\)
ｙ成分 \(b_{1}+0+b_{2}+0=0\) より、 \(b_{1}=-b_{2}\)
∴ \(\overrightarrow{AB}=(0,b_{1}),\overrightarrow{CD}=(0,-b_{1}),\overrightarrow{DA}=(-1,0)\)
したがって、四角形ＡＢＣＤは、長方形となる。