長さ２の線分ＡＢを直径とする半円を考える。
円弧上の点Ｐに対して、∠ＰＡＢ＝θ（0°＜θ＜90°）とし、
△ＰＡＢの周の長さをd、△ＰＡＢの面積をＳとする。
（１）ｄをθを用いて表せ。
（２）ｄを最大にするθの値を求めよ。
（３）Ｓをθを用いて表せ。
（４）Ｓ/ｄの最大値を求めよ。
質問が多いかもしれませんが、解説よろしくお願いいたします。
（１）ｄ＝２＋２sinθ＋２cosθ＝２（１＋sinθ＋cosθ）………（答）
（２）ｄ´＝２cosθ－２sinθ＝０より、
cosθ＝sinθ
０°＜θ＜９０°より、
∴θ＝４５°………（答）
（３） \(S=\frac{1}{2}\cdot 2\cos \theta \cdot 2\sin \theta =2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta\) ………（答）
（４） \(\frac{S}{d}=\frac{\sin 2\theta }{2(1+\sin \theta +\cos \theta )}\) をθで微分して、
\((\frac{S}{d})^{\prime }=\frac{2\cos 2\theta \cdot 2(1+\sin \theta +\cos \theta )-\sin 2\theta \cdot 2(\cos \theta -\sin \theta )}{4(1+\sin \theta +\cos \theta )^{2}}\)
\(=\frac{4(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )(1+\sin \theta +\cos \theta )-4\sin \theta \cos \theta (\cos \theta -\sin \theta )}{4(1+\sin \theta +\cos \theta )^{2}}\)
\(=\frac{(\cos \theta -\sin \theta )(\cos \theta +\sin \theta +2\sin \theta \cos \theta +\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta -\sin \theta \cos \theta )}{(1+\sin \theta +\cos \theta )^{2}}\)
\(=\frac{(\cos \theta -\sin \theta )(\cos \theta +\sin \theta +\sin \theta \cos \theta +1)}{(1+\sin \theta +\cos \theta )^{2}}\)
\(=\frac{(\cos \theta -\sin \theta )(\cos \theta +1)(\sin \theta +1)}{(1+\sin \theta +\cos \theta )^{2}}\)
分子＝（cosθ－sinθ）（cosθ＋１）（sinθ＋１）＝０より、
cosθ＝sinθより、θ＝４５°
cosθ＝－１より、θ＝１８０°
sinθ＝－１より、θ＝２７０°
０°＜θ＜９０°より、
θ＝４５°
したがって、最大値は
\(\frac{S}{d}=\frac{\sin 90^{o}}{2(1+\sin 45^{o}+\cos 45^{o})}=\frac{1}{2(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}})}\)
\(=\frac{1}{2(1+\sqrt{2})}\) ………（答）