「数学的帰納法について」

質問＜８０８＞

「「数学的帰納法について」」

日付２００２／３／１８

質問者もんもん

はじめまして。突然なんですが解答を見ても下記に記した変形方法が
わかりません。教えてください。

1/\(1^{2}\)+1/\(2^{2}\)+1/\(3^{2}\)+・・・・+1/\(n^{2}\)＜2-\(\frac{1}{n}\)　(n は2以上)
を帰納法で証明せよ　　
　
という問題です
＜証明＞
n=2のとき\(\frac{5}{4}\)＜\(\frac{3}{2}\)となり成立
n=kのとき　1/\(1^{2}\)+1/\(2^{2}\)+1/\(3^{2}\)+・・・・+1/\(k^{2}\)＜2 - \(\frac{1}{k}\)
と
が成立すると仮定
n=k+1のとき両辺に1/(k+1\()^{2}\)を加えると

1/\(1^{2}\)+1/\(2^{2}\)+1/\(3^{2}\)+・・・・+1/\(k^{2}\)+1/(k+1\()^{2}\)＜2- \(\frac{1}{k}\) + 1/(k+1\()^{2}\)

(右辺)=2- \(\frac{1}{k}\) + 1/(k+1\()^{2}\)
　　　　　　　　　　　↓　　　　この部分の変形方法が
　　　=2- \(\frac{1}{k}\) + \(\frac{1}{k}\)(k+1)　　　分かりません
=2 -\(\frac{1}{k}\)+1

お返事（武田）

日付２００２／３／１９

回答者武田

\(\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots \cdots +\frac{1}{n^{2}}<2-\frac{1}{n}\)

が、ｎは２以上のとき、成り立つことを数学的帰納法で証明すると、

（１）ｎ＝２のとき、

　　　　　左辺 \(=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\)

右辺 \(=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

したがって、左辺＜右辺

（２）ｎ＝ｋのとき成り立つと仮定して、

　　　　　 \(\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots \cdots +\frac{1}{k^{2}}<2-\frac{1}{k}\)

ｎ＝ｋ＋１のとき、

　　　　　左辺 \(=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots \cdots +\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}\)

\(<2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^{2}}<2-\frac{1}{k}+\frac{1}{k(k+1)}\)

\(=2-\frac{1}{k}+(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})\)

\(=2-\frac{1}{k+1}=\) 右辺

　したがって、左辺＜右辺

ｎが２以上の自然数のとき、与式は成り立つ。

証明終了