お久しぶりです。
今、春休みの宿題と格闘中です。
この問題をお願いします。
問１）
実数係数の方程式ｘ＾3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０・・・① がｘ＝２を
解に持つとする。
①の解を２、α、βとし、複素数平面において３点２、α、βが正方形
の異なる三つの頂点になっているとする。
さらに、この正方形の一辺の長さが5\(\sqrt{\quad}\)2で、α、βの実部が負である。
α、βを求めよ。
また、このときのａ、ｂ、ｃを求めよ。
あと、この４月で高３になります。数Ⅲ・Ｃを選択しています。
ついていけるかかなり不安なんですが、受験でどうしても必要なので
頑張ろうと思います。（ちなみに薬志望なんですが・・・）
何かアドバイスをお願いします。
たてつづけにすみません。
次の問題が、途中まで解けたんですが一番最後がわかりません。
よろしくお願いします。
問２）
複素数平面上で４＋８ｉ，－４－４ｉ，８－８ｉを表す３点をそれぞれ
Ａ，Ｂ，Ｃとする。
線分ＢＣを３：１に内分する点をＤ，線分ＡＣを３：１に内分する点をＥ，
線分ＡＢを１：３に内分する点をＦとする。
線分ＥＣをＥを中心として９０°回転し、さらに長さをｘ倍した線分を
ＥＰとすれば、Ｐを表す複素数を求めよ。
（これは解けました。４ｘ＋７＋(ｘ－４)ｉ です）
また、線分ＦＡをＦを中心として９０°回転し、さらに長さをｙ倍した
線分をＦＱとすれば、Ｑを表す複素数を求めよ。
（これも解けました。２－３ｙ＋(５＋２ｙ)ｉ です。）
そこで、線分ＤＰと線分ＤＱのなす角が９０°であるとき、
ｘｙを求めよ。
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この最後のｘｙを求めるのがわかりません。
よろしくお願いします。
問１
α＝ｘ＋ｙｉ、β＝ｘ－ｙｉ ただし、ｘ＜０
図の黄色い部分は正方形の半分だから、
｜α－２｜＝｜β－２｜＝５\(\sqrt{\quad}\)２
α－２＝（ｘ－２）＋ｙｉ より、
\(\left|\)
\((x-2)^{2}+y^{2}=50\) ………①
また、なす角は９０°より、
\(\arg (\beta -2)-\arg (\alpha -2)=90^{o}\)
\(\arg (\frac{\beta -2}{\alpha -2})=90^{o}=\arg (i)\)
したがって、
β－２＝ｉ（α－２）
ｘ－２－ｙｉ＝ｉ（ｘ－２＋ｙｉ）
（ｘ＋ｙ－２）－（ｘ＋ｙ－２）ｉ＝０
ｘ＋ｙ－２＝０………②
①②を連立して、
ｙ＝２－ｘ
\((x-2)^{2}+(2-x)^{2}=50\)
\((x-2)^{2}^{2}=25\)
ｘ－２＝\(\pm\)５
∴ｘ＝７，－３
ｘ＜０より、ｘ＝－３
したがって、ｙ＝２－（－３）＝５
α＝－３＋５ｉ，β＝－３－５ｉ………（答）
（ｘ－２）（ｘ＋３－５ｉ）（ｘ＋３＋５ｉ）＝０より、
\((x-2)(x^{2}+6x+9+25)=0\)
\(x^{3}+4x^{2}+22x-68=0\)
したがって、ａ＝４，ｂ＝２２，ｃ＝－６８………（答）
問２
Ａ（４＋８ｉ）、Ｂ（－４－４ｉ）、Ｃ（８－８ｉ）
ＥはＡＣを３：１に内分するから、 \(\frac{1\times (4+8i)+3\times (8-8i)}{3+1}=\frac{28-16i}{4}=7-4i\)
ＥＣ＝（８－８ｉ）－（７－４ｉ）＝１－４ｉ
９０°回転はｉをかけることだから、
ｉ・ＥＣ＝ｉ（１－４ｉ）＝４＋ｉ
ＥＰ＝ｘ（４＋ｉ）＝４ｘ＋ｘｉ
ＰはＥにＥＰを加えたものだから、（７－４ｉ）＋（４ｘ＋ｘｉ）＝（４ｘ＋７）＋（ｘ－４）ｉ
同様にして、
Ｆ（２＋５ｉ）、ＦＡ＝２＋３ｉ、ｉ・ＦＡ＝－３＋２ｉ
Ｑは、（２－３ｙ）＋（５＋２ｙ）ｉ
Ｄ（５－７ｉ）より、
ＤＰ＝｛（４ｘ＋７）＋（ｘ－４）ｉ｝－（５－７ｉ）＝（４ｘ＋２）＋（ｘ＋３）ｉ
ＤＱ＝｛（２－３ｙ）＋（５＋２ｙ）ｉ｝－（５－７ｉ）＝（－３－３ｙ）＋（１２＋２ｙ）ｉ
\(\arg (DQ)-\arg (DP)=90^{o}\)
\(\arg \{ \frac{(-3-3y)+(12+2y)i}{(4x+2)+(x+3)i}\} =\arg (i)\)
（－３－３ｙ）＋（１２＋２ｙ）ｉ＝ｉ｛（４ｘ＋２）＋（ｘ＋３）ｉ｝
（ｘ－３ｙ）＋（２ｙ－４ｘ＋１０）ｉ＝０
連立して、
ｘ－３ｙ＝０
２ｙ－４ｘ＋１０＝０
２ｙ－４（３ｙ）＋１０＝０
∴ｙ＝１
∴ｘ＝３
したがって、ｘｙ＝３×１＝３………（答）