すっかり忘れていましたので、参考書を見直しました。

１　行列Ａの固有値を求めよ。

ＡＸ＝λＸより、｜Ａ－λＥ｜Ｘ＝０
固有方程式｜Ａ－λＥ｜＝０
　　｜（ｐ　１－ｐ）　（λ　　０）｜
　　｜（　　　　　）－（　　　　）｜＝０
　　｜（１－ｑ　ｑ）　（０　　λ）｜
より
　　｜（ｐ－λ　１－ｐ）｜
　　｜（　　　　　　　）｜＝０
　　｜（１－ｑ　ｑ－λ）｜
行列式の計算をして、
　　(ｐ－λ)(ｑ－λ)－(１－ｐ)(１－ｑ)＝０
　　λ²－１－(ｐ＋ｑ)(λ－１)＝０
　　(λ－１)(λ＋１－ｐ－ｑ)＝０
　　∴λ＝１，ｐ＋ｑ－１……（答）

２　lim　Ａⁿを求めよ。
　　n→∞

固有値より
　　　　　（１　　　　　０）
Ｓ^-1ＡＳ＝（　　　　　　　）
　　　　　（０　ｐ＋ｑ－１）
両辺をｎ乗して
　　　　　　　（１ⁿ　　　　　０）
（Ｓ^-1ＡＳ）ⁿ＝（　　　　　　　）
　　　　　　　（０　(ｐ+ｑ-１)ⁿ）
左辺を変形して
（Ｓ^-1ＡＳ）ⁿ
＝（Ｓ^-1ＡＳ）（Ｓ^-1ＡＳ）（Ｓ^-1ＡＳ）……
＝Ｓ^-1ＡＳ・Ｓ^-1ＡＳ・Ｓ^-1ＡＳ……
＝Ｓ^-1ＡⁿＳ
したがって、
　　　　　（１ⁿ　　　　　０）
Ｓ^-1ＡⁿＳ＝（　　　　　　　）
　　　　　（０　(ｐ+ｑ-１)ⁿ）
左側からＳを掛け、右側からＳ^-1を掛けると、
　　　 （１ⁿ　　　　　０）
Ａⁿ＝Ｓ（　　　　　　　　）Ｓ^-1
　　　 （０　(ｐ+ｑ-１)ⁿ）
ＳとＳ^-1はＡＸ＝λＸから計算する。
λ＝１のとき、
　　　　（１）
　　Ｘ＝（　）
　　　　（１）
λ＝ｐ＋ｑ－１のとき、
　　　　（　　１　　　）
　　Ｘ＝（　　　　　　）
　　　　（(q-1)/(1-p)）
Ｓはこの２つのＸを縦に組み合わせて、
　　　　（１　　　　１　　）
　　Ｓ＝（　　　　　　　　）
　　　　（１　(q-1)/(1-p)）
このＳより、逆行列Ｓ^-1は
　　　　　（(q-1)/(p+q-2)　(p-1)/(p+q-2)）
　　Ｓ^-1＝（　　　　　　　　　　　　　　　 ）
　　　　　（(p-1)/(p+q-2)　(1-p)/(p+q-2)）
上の式に代入して計算すると、
Ａⁿ　（１　　　　１　　）（１ⁿ　　　　　０）（(q-1)/(p+q-2)　(p-1)/(p+q-2)）
＝（　　　　　　　　）（　　　　　　　 ）（　　　　　　　　　　　　　　　）
　（１　(q-1)/(1-p)）（０　(ｐ+ｑ-１)ⁿ）（(p-1)/(p+q-2)　(1-p)/(p+q-2)）

　　１　（(q-1)+(p-1)(p+q-1)ⁿ　(p-1)-(p-1)(p+q-1)ⁿ）
＝───（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ）
　p+q-2 （(q-1)-(q-1)(p+q-1)ⁿ　(p-1)+(q-1)(p+q-1)ⁿ）
場合分けをして、
①ｐ＋ｑ≦０または、ｐ＋ｑ＞２の場合
　　lim　(p+q-1)ⁿは発散……（答）
　　n→∞
②０＜ｐ＋ｑ＜２の場合
　　lim　(p+q-1)ⁿ＝０より、
　　n→∞
　　　　　　　　１　（q-1　p-1）
　　lim　Ａⁿ＝───（　　　　　）……（答）
　　n→∞　　　p+q-2（q-1　p-1）
③ｐ＋ｑ＝２の場合
　　lim　(p+q-1)ⁿ＝１より、
　　n→∞
　　　　　　　（１　０）
　　lim　Ａⁿ＝（　　　）……（答）
　　n→∞　　 （０　１）