「x,yの２次式\(x^{2}\)-xy-6\(y^{2}\)+9x-2y+rが、１次式の積に因数分解できるとき、
定数ｒの値を求めよ。」という問題で、
解答が、
「２次式をｘについて整理すると
\(x^{2}\)-(y-9)x-6\(y^{2}\)-2y+r
条件を満たすとき、ｘの方程式
\(x^{2}\)-(y-9)x-6\(y^{2}\)-2y+r=0
の判別式Ｄがｙの完全平方式となる。
ゆえに D=(y-9\()^{2}\)-4(-6\(y^{2}\)-2y+r)=0
すなわち 25\(y^{2}\)-10y+81-4r=0 の判別式が０
であるから \(5^{2}\)-25(81-4r)=0
よって ｒ＝２０」
となっているのですが、この解答が全く解りません。どうしてこのｘの方程式の判別式Ｄがｙの完全平方式となるとか、
Ｄ＝０と言えたり、またこの判別式Ｄで出来たｙの２次方程式の判別式が
０になるとか言えるんでしょうか。
よろしく御願いします。
\(x^{2}-xy-6y^{2}+9x-2y+r\) が１次式の積になるのは、
\(x^{2}-xy-6y^{2}+9x-2y+r=0\) の解が２つあり、
かつｘ，ｙの１次式になるのだから、
ｘについて整理して、 \(x^{2}-(y-9)x-6y^{2}-2y+r=0\)
解の公式より、
\(x=\frac{(y-9)\pm \sqrt{(y-9)^{2}-4(-6y^{2}-2y+r)}}{2}\)
\(\sqrt{\quad}\)の中が、外に出るために、完全平方式である必要がある。
\(D=(y-9)^{2}-4(-6y^{2}-2y+r)\)
今、方程式にするために、Ｄ＝０とおくと、
完全平方式になるためには、重解である必要がある。
\((y-9)^{2}-4(-6y^{2}-2y+r)=0\)
\(y^{2}-18y+81+24y^{2}+8y-4r=0\)
\(25y^{2}-10y+81-4r=0\)
したがって、この方程式の判別式は、Ｄ＝０より、
\(D\slash 4=25-25(81-4r)=0\)
２５－２０２５＋１００ｒ＝０
∴ｒ＝２０………（答）
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\(x=\frac{(y-9)\pm \sqrt{(5y-1)^{2}}}{2}=\frac{(y-9)\pm (5y-1)}{2}\)
\(=\frac{6y-10}{2},\frac{-4y-8}{2}=3y-5,-2y-4\)
したがって、
\(x^{2}-xy-6y^{2}+9x-2y+20=\{ x-(3y-5)\} \{ x-(-2y-4)\}\)
\(=(x-3y+5)(x+2y+4)\) ………（答）
となる。この問題は、テクニックとして、２回判別式をＤ＝０とすると解けるのだが、
１回目の判別式Ｄは「Ｄ＝０」と言う意味ではなく、方程式化するために＝０を
つけただけなのだ。
２回目の判別式「Ｄ＝０」は、完全平方式より重解から、Ｄ＝０がでてきたのだ。