２つの解き方を考えました。
①階差数列で考える方法
а_1n+1n＋ｎ＋１より、
ａ₂＝２ａ₁＋１＋１＝４
ａ₃＝２ａ₂＋２＋１＝１１
ａ₄＝２ａ₃＋３＋１＝２６
ａ₅＝２ａ₄＋４＋１＝５７
ａ₆＝２ａ₅＋５＋１＝１２０
数列を考える。
　　　①　②　③　　　④　　　⑤　　　⑥　　……ｎ番目
　　　１　４　１１　　２６　　５７　　１２０　　ａ_n
階差　　３　７　　１５　　３１　　６３　　……　　　ｂ_n
第２階差　４　　８　　１６　　３２　　………………　　　ｃ_n
したがって、
第２階差の数列は等比数列になるから、ｃ_n＝４・２^n-1
したがって、
　　　　n-1　　　　n-1
ｂ_n＝３＋Σｃ_k＝３＋Σ４・２^k-1
　　　　k=1　　　　k=1
　　＝３＋４・（２^n-1－１）／（２－１）
　　＝３＋４・２^n-1－４
　　＝４・２^n-1－１
同様にして、
　　　　n-1　　　　n-1
ａ_n＝１＋Σｂ_k＝１＋Σ（４・２^k-1－１）
　　　　k=1　　　　k=1
　　＝１＋４・（２^n-1－１）／（２－１）－（ｎ－１）　　＝１＋４・２^n-1－４－ｎ＋１
　　＝４・２^n-1－ｎ－２
　　＝２ⁿ⁺¹－ｎ－２……（答）

②均衡値ａ_n^*を利用した差分方程式の解法
а_1n+1n＋ｎ＋１
変形して
а_n+1－２а_n＝ｎ＋１
ａ_nの係数ｋ＝２が１以外なので、右辺が一次式なので、
均衡値ａ_n^*＝ｋ₁ｎ＋ｋ₂とおく。
ａ_n+1^*－２ａ_n^*＝ｎ＋１
｛ｋ₁（ｎ＋１）＋ｋ₂｝－２（ｋ₁ｎ＋ｋ₂）＝ｎ＋１
（１＋ｋ₁）ｎ＋（１＋ｋ₂－ｋ₁）＝０
すべての値ｎで成り立つためには
１＋ｋ₁＝０∴ｋ₁＝－１
１＋ｋ₂－ｋ₁＝０∴ｋ₂＝－２
したがって、
ａ_n^*＝－ｎ－２

ｋ＝２より
ａ_n＝Ｃ・ｋⁿ＋ａ_n^*
　　＝Ｃ・２ⁿ－ｎ－２
а_{1 １＝Ｃ・２¹－１－２
Ｃ＝２
∴ａn＝２・２ⁿ－ｎ－２
　　　＝２ⁿ⁺¹－ｎ－２……（答）
差分方程式は大概の漸化式は解けますが、ちょっと難しいですね。}

与式より
ａ_n+1+n+3=2(ａ_n+n+2)
と変形して
ａ_n+n+2=ｂ_n
とし、ｂ₁₁+1+2=4
ｂ_n+1n
ｂ_n1*2^n-1n+1
∴ａ_{nn+1-n-2
としてもできます。}