\(a_{n}=(n^{2}-1)(n+2)=(n-1)(n+1)(n+2)\)

に具体的に代入していくと、特長が見えてくる。

\(a_{1}=0\times 2\times 3\)

\(a_{2}=1\times 3\times 4\)

\(a_{3}=2\times 4\times 5\) 　左記の５項が基本となる。

\(a_{4}=3\times 5\times 6\)

\(a_{5}=4\times 6\times 7\)

この中の第２項と第５項が、５で割り切れない項となる。

この上の５項を第１群として、第ｋ群の第２項と第５項を求めると、

第２項　 \(a_{5k-3}=(5k-4)(5k-2)(5k-1)\)

第５項　 \(a_{5k}=(5k-1)(5k+1)(5k+2)\)

｛ｂｎ｝としては、第２項と第５項なので、規則的な式が１つ求まる

ことはない。

上のように場合分けするしかない。

問題のｂ５は、５÷２＝２……１より、第３群の第２項のことを指すから、

\(b_{5}=a_{5\times 3-3}=a_{12}=(5\times 3-4)(5\times 3-2)(5\times 3-1)=11\times 13\times 14=2002\) ………（答）

かなり高度なのであくまで参考ですが。

「｛ｂｎ｝としては、第２項と第５項なので、
規則的な式が１つ求まることはない。
上のように場合分けするしかない。」
というのは誤りです。

\(b_{n}\) の奇数項は各々 \(a_{n}\) の第 2, 7, 12, ... 項と対応すればいいのですから
これは a_((5n-1)/2) と書けます (n が偶数には意味がない)。
\(b_{n}\) の偶数項は各々 \(a_{n}\) の第 5, 10, 15, ... 項と対応すればいいのですから
これは a_(5\(\frac{n}{2}\)) と書けます (n が奇数の時には意味がない)。

そして数列 { (1 + (-1\()^{n}\))/2} は
0, 1, 0, 1, 0, 1 と 偶数項だけが 1 になりますし
数列 { (1 + (-1)^(n-1))/2} は
1, 0, 1, 0, 1, 0 と奇数項だけが 1 になりますので
結局 \(b_{n}\) は次の式で表されます。

\(b_{n}\)
= (1 + (-1)^(n-1))/2 × a_((5n-1)/2)
+ (1 + (-1\()^{n}\))/2 × a_(5\(\frac{n}{2}\)).

先生，お元気ですか？ｄ３です．
Hoshino（phaos）さんの質問＜８２０＞のアドバイスに触発されて^^，
できましたので送ります．
これからもよろしくお願いしますm(__)m
以下解答です．

質問＜８２０＞２００２／４／１４について，
{a[n]}でこの添え字＝番号を考えます．
５で割り切れる：5，10，15，・・・．
５で割ると２余る：2，7，12，・・・．
で併せて，
2，5，7，10，12，15，・・・．
この数列を｛p[n]｝として，
q[n]：＝p[n＋1]－p[n]で定義した階差の数列｛q[n]｝を考えると，
3，2，3，2，3，2，・・・．
でさらにr[n]：＝q[n＋1]－q[n]で定義した階差の数列｛r[n]｝を考えると，
－1，1，－1，1，－1，1，・・・．
これの一般項は，（等比数列なので）r[n]＝(－1\()^{n}\)．
以下のΣはすべてk＝1　to　n－1　とします．
n≧2で，（n＝1のときもあてはまっていますのでコトワリません）
q[n]＝q[1]＋Σr[k]から，q[n]＝｛5－(－1\()^{n}\)｝/2．
（n＝1のときもあてはまっていますのでコトワリません）
さらにn≧2で，（こちらも，n＝1のときもあてはまっています）
p[n]＝p[1]＋Σq[k]から，p[n]＝｛10n－1＋(－1\()^{n}\)｝/4
したがって，{a[n]}でこの添え字p[n]のモノです．
b[n]＝a［p[n]］というワケになります．
代入してもきれいになりませんので，このままにしておきます．