未解決問題に移しましたところ、toshiさんとfanさんからアドバイス
が届きました。感謝！！

0～θまでのSinｔの積分をしてみると
0～θ＝0～π/2　＋　π/2～θ　であるので

①0～π/2のSinｔの積分はsin、cosのグラフより
0～π/2のCostの積分と等しい＝1

②π/2～θのSintの積分は、y軸をπ/2移動させたCosｔと見ることが出来るので
0～θ-π/2のCostの積分と等しい＝Sin(θ-π/2)-1

①＋②より
0～θの積分はSin（θ-π/2）＝-Cosθ

ここで、θは全てのθについて成り立つので、一般的に題意は成り立つ。

ちょっと図が無くて分かり難いですけど
Sintのグラフのｔ＝π/2のところに縦に一本入れて
左右で別個に面積を考えれば分かりやすいと思います。
一応微分は考えずに面積で捉えました。

どうも。fanです。

sin t の積分についてですが、面積で考えようとしていますが、不定積分は面積
とは
少し違うのではないでしょうか。
面積で考えるのなら定積分で考えなければならないと思います。
おそらく下端を0として考えているのだと思いますが、sin x を0からtまで積分
すると
結果は1-cos t になります。これだと納得できるのではないでしょうか？