1,次の漸化式で与えられる数列｛an}の一般項を求める。
a1=p an+1=an(an-2)
2,nを1000以上の素数とするとき、\(\frac{100}{n}\)の少数第n位を求める。
3,次の数は無理数であることを示す。
\(\sqrt{\quad}\)1+\(\sqrt{\quad}\)2+\(\sqrt{\quad}\)3+\(\sqrt{\quad}\)4+\(\sqrt{\quad}\)5+\(\sqrt{\quad}\)6
4, m,nは自然数でm＞＝2のとき、次のxに関する整式は(n+1)個の整式に
因数分解できることを示す。
Ｘ^\(m^{n}\)-1
5,円周上に任意にとった３点が鋭角三角形をなす確率。
問題が多くてすみません。宜しくお願いします。
1は分かりません。
2は一応解けたのですが少し長くなるので今回はパスします。
3は＜８３７＞にも出ている「数学質問箱」
ここをクリック→oshi\(o_{n}\)et.gif)
の質問と解答(～\(\frac{2000}{6}\)) というところの（問９６）に載っています。
4に行きます。
\(A^{m}\)-1を考えてみると、A=1を代入するとこの値は0になるので、\(A^{m}\)-1は
A-1を因数に持つ事が分かります。
ここで\(X^{m}\)^n-1=X^{m^(n-1)*m}-1={\(X^{m}\)^(n-1)}^m-1より、A=\(X^{m}\)^(n-1)
とおくと、\(X^{m}\)^n-1は\(X^{m}\)^(n-1)-1を因数に持つ事になります。
よって商をQn(X)とおけば\(X^{m}\)^n-1={\(X^{m}\)^(n-1)-1}Qn(X)となります。
ここで\(X^{m}\)^(n-1)-1={\(X^{m}\)^(n-2)}^m-1よりこれは\(X^{m}\)^(n-2)-1を
因数に持つ事が分かります。
よって\(X^{m}\)^n-1={\(X^{m}\)^(n-2)-1}Qn-1(x)Qn(X)
となり、同様にしてどんどん進めていくと
\(X^{m}\)^n-1=(X-1)Q1(x)Q2(X)…Qn(X)
まで、全部でn+1個の整式に因数分解できます。
最後に5ですが、これは僕はこれかなという物はあるのですが、あまり自信が無く
上手く説明できないので、誰かほかの方の解答を待ちたいと思います。