\((ae^{2x})-x-4b=0\) と言う指数方程式の解と考えて良いですか。

このままでは解けませんので、移項して、２つの関数を作ります。

\(y=ae^{2x}\) と \(y=x+4b\) です。

グラフを書くと、

この２つのグラフの交点があれば解があるのだから、

接する所が解があるかの境となるから、

ｙ´＝２ａｅ^2x＝１

対数をとって、

\(e^{2x}=\frac{1}{2a}\) より、 \(2x=\log (\frac{1}{2a})=-\log (2a)\)

\(x=\frac{1}{2}\{ -\log (2a)\} =\log \frac{1}{\sqrt{2a}}\)

\(y=ae^{2x}\) に代入して、 \(y=\frac{1}{2}\)

接線の方程式は、 \(y-\frac{1}{2}=1(x-\log \frac{1}{\sqrt{2a}})\)

\(y=x+\frac{1}{2}-\log \frac{1}{\sqrt{2a}}\)

この接線より直線 \(y=x+4b\) が上にあるとき、解があるから、

\(4b\geq \frac{1}{2}-\log \frac{1}{\sqrt{2a}}\)

∴ \(b\geq \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\log \frac{1}{\sqrt{2a}}=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\log 2a=\frac{1}{8}(1+\log 2a)\) ………（答）

ａ＜０のときは、必ず解がある。ａ＞０のときは、上の範囲のときに解がある。