こんばんは。ご検討ください。
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問. 次の不等式を解け。
　　　　\(k^{2}\) - 4(\(k^{2}\)-1)/(3k+1) >= 0

答.
(左辺) = f(k) とおくと、f(k) = -(k-2)(\(k^{2}\)+k+2)/(3k+1) だから、
f(k) = 0 ＜==＞ k = 2 …(*)
f(k) の導関数 f'(k) = (-6\(k^{3}\)+2k-12)/(3k+1\()^{2}\)
g(k) = -6\(k^{3}\)+2k-12 とおくと、f'(k) の符号は g(k) の符号と一致する。
g(k) の導関数 g'(k) = -18\(k^{2}\) + 2 、g'(k) = 0 ＜==＞ k = -\(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{3}\)
(増減表その1 (ここでは省略)
(x = -\(\frac{1}{3}\) で極小値 f(-\(\frac{1}{3}\)) = -\(\frac{112}{9}\) 、
x = \(\frac{1}{3}\) で極大値 f(\(\frac{1}{3}\)) = -\(\frac{104}{9}\)))
g(-2) = 32 > 0
したがって、g(k) = 0 の実数解はただ一つだけ存在して、
その解 k = α とおくと、-2 ＜ α ＜ -\(\frac{1}{3}\) (中間値の定理、単調性)。
(増減表その2 (k --> -\(\frac{1}{3}\) を注意して)
(x = α で 極大値 f(α) 、f(2) = 0))
ここで、f(α) ＜ 0 である
(∵(*))から、f(k) >= 0 ＜==＞ -\(\frac{1}{3}\) ＜ k ＜= 2 …(答)