次の問題をお願いします。
（１）
正三角形ＡＢＣの内接円Ｏ1の半径をｒとする。
辺ＡＢ，ＢＣと円Ｏ1に接する円をＯ2とし、辺ＡＢ，ＢＣと円Ｏ2に接
する円をＯ3とする。
このように、次々に小さくなる円を作るとき、
全ての円の面積の和を求めよ。
（２）
直角三角形ＡＢＣの直角の頂点Ａから辺ＢＣに垂線ＡＡ1を下ろし、
Ａ1から辺ＡＣにＡ1Ａ2を下ろす。以下同様に、Ａ2Ａ3、Ａ3Ａ4・・・・
と下ろすとき、△ＣＡＡ1、△ＣＡ1Ａ2、△ＣＡ2Ａ3・・・・の面積の
総和が△ＡＢＣの面積を超えないためには、∠Ｃの大きさはどんな範囲
になければならないか。
(1) O1とO2の接点から接線を引くと、これとAB,BCとで小さな
正三角形ができます。
これとABCとの比がそのままO2とO1との比になります。
ここで、BからACに中線BMを引くと、O1の中心が正三角形ABCの
重心と一致することなどから、BM:r=3:1です。
よって、O1とO2の接点をM'とすると、BM'=BM-2rより
BM:BM'=3:1となり、結局面積ではO1:O2=9:1です。
従って求める面積は初項π\(r^{2}\)、公比\(\frac{1}{9}\)の無限等比級数の和です。
(2) まず、全ての三角形は相似です。
角Cの大きさをθとすると、CAA1:CA1A2=CA1:CA2=1:cosθ
となります。よって、面積は一つ進むごとに1/(cosθ\()^{2}\)になります。
従って、ABCの面積をSとおくと、
S≧S{(cosθ\()^{2}\)+(cosθ\()^{4}\)+…}=S*(cosθ\()^{2}\)/{1-(cosθ\()^{2}\)}
よって(cosθ\()^{2}\)≦\(\frac{1}{2}\)で、0＜θ＜π/2でないといけないので
π/4≦θ＜π/2です。