（問１）１辺の長さが２aの正三角形ＡＢＣにおいて、辺ＡＣ
の中点をＤ、線分ＢＤの中点をＥとし、∠ＥＣＢ=∂とすると
き、次の問に答えなさい。
（１）線分ＥＣの長さをａを用いて表しなさい。
（２）ｓｉｎ∂の値を求めなさい。
（問２）２つの直線 ３ｘ＋２ｙ＋３＝０と２ｘ－ｙ＋ｋ＝０
が、第３象限（ｘ＜０，ｙ＜０）において、交点を持つとき、
ｋの値を求めなさい。
（問３）下の連立の示す領域を図示して、その領域の面積を
求めなさい。
Ｘ2＋Ｙ2－４≦０……①
Ｙ－Ｘ－２≧０………………②
Ｙ－Ｘ＋２≦０………………③
Ｙ＋Ｘ－２≧０………………④
Ｙ＋Ｘ＋２≦０………………⑤
（問４）ｓｉｎ（ｘ－π／６）＋ｃｏｓ（x－π／３）という
式の答えは？？
（問１）
（１）△ＥＣＤにおいて
ＣＤ＝ａ、ＥＤ＝ＢＤ／２＝(\(\sqrt{\quad}\)３ａ)／２＝\(\sqrt{\quad}\)３／２・ａより
三平方の定理より
ＥＣ2＝ＣＤ2＋ＥＤ2
＝ａ2＋(\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{2}\)・ａ)2
＝\(\frac{7}{4}\)・ａ2
∴ＥＣ＝\(\sqrt{\quad}\)７／２・ａ……（答）
（２）ｓｉｎ∂の値を求めなさい。
∠ＥＣＤ＝θとおくと、
ＥＤ \(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{2}\)ａ \(\sqrt{\quad}\)21
sinθ＝───＝────＝──── ……①
ＥＣ \(\sqrt{\quad}\)\(\frac{7}{2}\)ａ ７
ＣＤ ａ ２\(\sqrt{\quad}\)7
cosθ＝───＝────＝──── ……②
ＥＣ \(\sqrt{\quad}\)\(\frac{7}{2}\)ａ ７
∠ＢＣＤ＝６０°より
sin∂＝sin(６０°－θ)
加法定理より
sin(６０°－θ)＝sin６０°cosθ－cos６０°sinθ
＝\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{2}\)cosθ－\(\frac{1}{2}\)sinθ
①②より
sin∂＝\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{2}\)・２\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{7}{7}\)－\(\frac{1}{2}\)・\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{21}{7}\)
＝\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{21}{7}\)－\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{21}{14}\)
＝\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{21}{14}\)……（答）
（問２）
連立して
３ｘ＋２ｙ＋３＝０……①
２ｘ－ｙ＋ｋ＝０………②
②を変形して、ｙ＝２ｘ＋ｋを①に代入すると、
３ｘ＋２(２ｘ＋ｋ)＋３＝０
３ｘ＋４ｘ＋２ｋ＋３＝０
７ｘ＋２ｋ＋３＝０
－２ｋ－３
ｘ＝────── ……③
７
③を②に代入して、
－４ｋ－６ ３ｋ－６
ｙ＝──────＋ｋ＝───── ……④
７ ７
③④は第３象限（ｘ＜０，ｙ＜０）より
③より
－２ｋ－３＜０
２ｋ＞－３
ｋ＞－\(\frac{3}{2}\) ……⑤
④より
３ｋ－６＜０
３ｋ＜６
ｋ＜２ ……⑥
⑤と⑥より
∴－\(\frac{3}{2}\)＜ｋ＜２……（答）
（問３）
Ｘ2＋Ｙ2≦４……①
と下の領域１つ１つと連立して
Ｙ≧Ｘ＋２…………………②
Ｙ≦Ｘ－２…………………③
Ｙ≧－Ｘ＋２………………④
Ｙ≦－Ｘ－２………………⑤
重なった面積の和は、半径２の円から正方形を引いたところ
になるので、Ｓ＝π２2－(２\(\sqrt{\quad}\)２)2
＝４π－８……（答）
（問４）
加法定理
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
より、
sin(ｘ－π／６)＋cos(ｘ－π／３)
＝sinｘ・cos(π／６)－cosｘ・sin(π／６)
＋cosｘ・cos(π／３)＋sinｘ・sin(π／３)
＝\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{３}{2}\)・sinｘ－\(\frac{1}{2}\)・cosｘ＋\(\frac{1}{2}\)・cosｘ＋\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{３}{2}\)・sinｘ
＝\(\sqrt{\quad}\)３・sinｘ……（答）
これは変形するという問題ですね。