1. y = si\(n^{5}\) x cos 5x
y' = (si\(n^{5}\) x)' cos 5x + si\(n^{5}\) x (cos 5x)' … 積の積分
= 5si\(n^{4}\) x cos x cos 5x + si\(n^{5}\) x・5(-sin 5x) … 合成函数の微分
= 5si\(n^{4}\) x cos x cos 5x - 5 si\(n^{5}\) x sin 5x.

2. y = si\(n^{4}\) x co\(s^{4}\) x
y' = 4si\(n^{3}\) x cos x co\(s^{4}\) x + si\(n^{4}\)x ・4co\(s^{3}\) x(- sin x)
= 4si\(n^{3}\) x co\(s^{5}\) x - 4si\(n^{5}\)x co\(s^{3}\) x.

もう一つの方は

lim_(x\(\vec{a}\)) (sin x - sin a)/sin(x - a)
= lim_(x\(\vec{a}\)) ((sin x - sin a)/(x - a)・(x - a)/sin(x - a))
= cos a.
(前半は sin x の微分の定義通りにやればいい。
後ろの方は sin θ/θ → 1 (θ → 0 の時) を使った)

武田先生、こんにちは。
いつもお世話になっています。

先日三角関数の微分について質問をしましたが、
もう解決できてしまいました。
武田先生や先輩方のお手を患わせたくないので
その質問は削除して戴けますでしょうか。

質問しときながら、ごめんなさい。
またこれからもよろしくお願いします。

phaosさんから解答をいただきましたので、
そのままにします。