limAn(n→∞)=α⇒limAn(n→∞)n\(\sqrt{\quad}\)a1*a2*・・・*an=α
の証明なのですが。
対数をとってlogA1+logA2+・・・+logA\(\frac{n}{n}\)の形にもっていくのは
わかっているのですが
証明のときどうやってもっていったらいいのでしょうか？
うまい書き方を教えてください。
limAn(n→∞)=α⇒limAn(n→∞)n\(\sqrt{\quad}\)a1*a2*・・・*an=α
の証明なのですが。
対数をとってlogA1+logA2+・・・+logA\(\frac{n}{n}\)の形にもっていくのは
わかっているのですが
証明のときどうやってもっていったらいいのでしょうか？
うまい書き方を教えてください。
An>0かつ、limAn=α>0の場合、Bn=logAn,β=limlogAnとします。
∀ε>0に対して、∃N s.t. ∀n>N |Bn-β|＜ε
ここで
|(B1+B2+...+Bn)/n|＜(|B1-β|+|B2-β|+...+|BN-β|)/n
＋(|BN+1-β|+...+|Bn-β|)/n
＜(|B1-β|+...+|BN-β|)/n+(n-N)ε/n
＜\(\frac{k}{n}\)+ε (k=k(N))
ここでnを十分大きくして
\(\frac{k}{n}\)＜εとすれば、
|(B1+B2+...+Bn)/n|＜2ε
となります。