次の証明は私の page
http://isweb23.infoseek.co.j\(\frac{p}{s}\)choo\(\frac{l}{p}\)hao\(\frac{s}{p}\)reparation\(\frac{s}{t}\)riangular.htm
からの copy.

|x| - |y| ≦ |x + y|

0 ≦ |x|＜ |y| の時 |x| - |y|＜ 0 ＜ |x + y| なので明らか。

|x| ≧ |y| ≧ 0 の時 |x| - |y| ≧ 0, |x + y| ≧ 0 より

|x + y|^2 - (|x| - |y|\()^{2}\)
= \(x^{2}\) + 2xy + \(y^{2}\) - (\(x^{2}\) - 2|xy| + \(y^{2}\))
= \(x^{2}\) + 2xy + \(y^{2}\) - \(x^{2}\) + 2|xy| - \(y^{2}\))
= 2(xy + |xy|).

2(xy + |xy|)一般に |a| ≧ -a だから |a| + a ≧ 0.
故に |x + y|^2 - (|x| - |y|\()^{2}\) = 2(xy + |xy|) ≧ 0.

従って |x + y|^2 ≧ (|x| - |y|\()^{2}\) で,
両辺とも正だから最初の不等式が成り立つ。
等号成立は xy + |xy| = 0 即ち |xy| = -xy.
従って xy ≦ 0.