f(x) = \(x^{3}\) + a\(x^{2}\) + bx + c; a, b, c ∈ R
に対し
f(-1) = a - b + c - 1 ∈ Z (即ち a - b + c ∈ Z),
f(0) = c ∈ Z,
f(1) = a + b + c + 1 ∈ Z (即ち a + b + c ∈ Z).
即ち
a - b, a + b, c ∈ Z.
そこで
A = a + b, B = a - b; A, B ∈ Z
と置くと,
a = (A + B)/2, b = (A - B)/2.

さてここで
f(n) ∈ Z ⇒ f(n + 1) ∈ Z
を示せば, 数学的帰納法により
∀n(n ∈ Z ⇒ f(n) ∈ Z)
が示される。

f(n + 1)
= (n + 1\()^{3}\) + a(n + 1\()^{2}\) + b(n + 1) + c
= (\(n^{3}\) + 3\(n^{2}\) + 3n + 1) + (a\(n^{2}\) + 2an + a) + (bn + b) + c
= (\(n^{3}\) + a\(n^{2}\) + bn + c) + (3\(n^{2}\) + 3n + 1) + (a + b) + 2an
= f(n) + (3\(n^{2}\) + 3n + 1) + A + (A + B)n ∈ Z
だから示された。

[後半]
さて一般に固定された N ∈ Z に対し
f(N - 1), f(N), f(N + 1) ∈ Z
の場合
g(x) = f(x - N)
=(x - N\()^{3}\) + a(x - N\()^{2}\) + b(x - N) + c
= \(x^{3}\) + (a - 3N)\(x^{2}\) + (-2aN + b + 3\(N^{2}\))x + (\(N^{3}\) + a\(N^{2}\) - bN)
に対して同じ議論をすればよいので, 連続する三整数に対する値が
全て整数であるような実数係数の monic な多項式は
全ての整数に対して整数値を持つことが分かる。

\(x^{3}\)はxが整数ならば明らかに整数なので、考えない。
f(0)が整数なのでcは整数であるので、考えない。
f(1)=a+b=n(整数)
f(-1)=a-b=k(整数)
とn,kを置く。与式-（\(x^{3}\)+c）を考えると
g(x)=(n+k)\(x^{2}\)/2+(n-k)\(\frac{x}{2}\)
これが整数だと仮定すると
g(x+1)=(n+k)(x+1\()^{2}\)/2+(n-k)(x+1)/2
=(n+k)\(x^{2}\)/2+(n-k)\(\frac{x}{2}\)+(n+k)x+n
これはxが整数ならば成り立つ。
よって数学的帰納法より……成り立つ
g(x)は整数なのでf(x)=(整数)+(整数)=(整数)
である。

f(1996)、f(1997)、f(1998)がすべて整数の場合は高々
3次式の一般形(\(x^{3}\)+a\(x^{2}\)+bx+c)を平行移動させただけなので
(x=x-1997)
同様の性質をもつ。