なんの前提もないと分からないのだが
lo\(g_{10}\) 2 ≒ 0.301
と
\(\sqrt{\quad}\)5 ≒ 2.236
を知っていたと仮定すると
lo\(g_{10}\) 2^\(\sqrt{\quad}\)5 = (\(\sqrt{\quad}\)5)lo\(g_{10}\) 2 ≒ 2.236×0.301 ≒ 0.673(036)
で一方
lo\(g_{10}\) (2\(\sqrt{\quad}\)5) = lo\(g_{10}\) \(\sqrt{\quad}\)20 = (\(\frac{1}{2}\)) lo\(g_{10}\) 20
= (\(\frac{1}{2}\))(lo\(g_{10}\) 10 + lo\(g_{10}\) 2) = (lo\(g_{10}\) 2 + 1)/2
≒ 1.\(\frac{301}{2}\) = 0.6505
だから
lo\(g_{10}\) 2^\(\sqrt{\quad}\)5 > lo\(g_{10}\) (2\(\sqrt{\quad}\)5)
で底の 10 > 1 だから
2^\(\sqrt{\quad}\)5 ＜ 2\(\sqrt{\quad}\)5.

尚, 実際の値は
2^\(\sqrt{\quad}\)5 = 4.7111,,,
2\(\sqrt{\quad}\)5 = 4.47213595...
で微妙な差。