(1) 式が良く分からない。
(n + 1)/(2n + 3) = (1 + \(\frac{1}{n}\))/(2 + \(\frac{3}{n}\)) → \(\frac{1}{2}\) (as n → ∞),
(6n + 5)/(4n + 3) = (6 + \(\frac{5}{n}\))/(4 + \(\frac{3}{n}\)) → \(\frac{6}{4}\) = \(\frac{3}{2}\) (as n → ∞).
だから
(n + 1)/(2n + 3) ≦ \(a_{n}\)-1
で \(a_{n}\)-1 が (\(a_{n}\)) - 1 のつもりなら, 極限が存在して
lim_(n →∞) \(a_{n}\) = \(\frac{3}{2}\)
であるが
もしも \(a_{n}\)-1 が a_(n - 1) であると唯単に
\(\frac{1}{2}\) ≦ lim_(n →∞) \(a_{n}\) ≦ \(\frac{3}{2}\)
しか分からない。

(2) 円 O の半径を 1 とすると正三角形の一辺の長さは \(\sqrt{\quad}\)3,
∠PAB = θ と置くと, ∠APB = 60°で, ∠PBA = 60°- θ.
P\(\vec{B}\) は θ→0 を意味する。
正弦定理より
AP = 2sin(60°- θ),
BP = 2sin θ
であるから
(AB - AP)/BP
= ((\(\sqrt{\quad}\)3) - 2sin(60°- θ))/(2sin θ)
= ((\(\sqrt{\quad}\)3) - (\(\sqrt{\quad}\)3)cos θ + sin θ)/(2sin θ) … 加法定理を用いた。
= (\(\sqrt{\quad}\)3)(1 - cos θ)/(2sin θ) + \(\frac{1}{2}\)
= (\(\sqrt{\quad}\)3)si\(n^{2}\) θ/(2sin θ(1 + cos θ)) + \(\frac{1}{2}\)
= (\(\sqrt{\quad}\)3)sin θ/(2(1 + cos θ)) + \(\frac{1}{2}\) → \(\frac{1}{2}\) (as θ→0).

(3)
y(x) = (x - a\()^{2}\) (x + b) - \(x^{2}\)
と置く。y(x) = 0 の解と, 問題の解は一致する。

y(0) = \(a^{2}\)b > 0
y(-b) = -\(b^{2}\) ＜ 0
で -b ＜ 0 だから, 中間値の定理により
-b ＜ x ＜ 0 に一つの解 (即ち負の解) を持つ。

y(a) = -\(a^{2}\) ＜ 0 で a > 0 だから, 再び中間値の定理により
0 ＜ x ＜ a に一つの解 (即ち正の解のうちの一つ) を持つ。
一方
lim_(x→∞) y(x) = +∞
だから, x > a にも一つの解 (即ち正の解のうちの一つ) を持つ。

y(x) = 0 は三次方程式だから, これ以外に解はない。
よって, 二つの正の解と一つの負の解を持つ。