いかなる三角形ABCも、xy座標平面上において移動を施すことにより、
A(0,0),B(a,0),C(b,c) (a≠0,c≠0)と書くことができます。
このとき、3つの中線はそれぞれ、
(a+b)y=cx 、 (b-2a)y=c(x-a) 、 (2b-a)y=c(2x-a)
と書くことができ、計算によりどの2つの共有点もただ1つ存在し、
G((a+b)/3,\(\frac{c}{3}\))であることがわかります。
したがって、3つの中線が1点で交わることが言えたことになります。

さて、線分の場合、x座標またはy座標が1:2に分けられていれば、
線分自体も1:2に分けられていると言えますから、
AB,BC,CAそれぞれの中点を算出してやって、
A,B,CとかGとかと共に評価してやればよいわけです。

※チェバの定理の逆定理とかメネラウスの定理とか使えると
　いとも簡単なんですが、
　これらの定理って面積の概念を利用していますしねぇ...。

重心定理の証明は

http://www.auemath.aichi-edu.ac.j\(\frac{p}{d}\)g\(\frac{s}{03}\)/2-160_2.htm

が分かり易いと思われる。

「Ｇoogle」にて，キーワード [三角形 中線] で検索して
次のページを発見。
「中点連結定理」と「三角形の重心」のページを参照。

http://www3.ocn.ne.jp/~kokote\(\frac{n}{r}\)oom1.htm