h(x)=g(x)-f(x) とおくと、
h(x)=2\(x^{2}\)-2(a-1)-a+5 で y=h(x) のグラフは下に凸ですから、
(1) ⇔「 全ての実数 x に対して h(x)＞0 」
　　⇔「 h(x)=0 の判別式 D＞0 」
となります。
計算は省略しますが、(1) ⇔「 -3＜a＜3 」となります。

また、y=f(x) は上に凸、y=g(x) は下に凸のグラフですから、
(2) ⇔「 (g(x)の最小値)＞(f(x)の最大値) 」となります。
計算により、(2) ⇔「 -2\(\sqrt{\quad}\)2＜a＜2\(\sqrt{\quad}\)2 」となります。

1. つまりどのような x の値に対しても
g(x) - f(x) > 0
となれば良いのです。

g(x) - f(x)
= \(x^{2}\) - (a - 2)x + 3 + \(x^{2}\) - ax - a + 2
= 2\(x^{2}\) -(2a - 2)x - a + 5
= 2\(x^{2}\) - 2(a - 1)x - a + 5
ここで, g(x) - f(x) = 0 と置いて, その判別式を D と置くと
g(x) - f(x) > 0 ⇔ D ＜ 0
(グラフを描いてご覧なさい) ですから
D = 4(a - 1\()^{2}\) - 8(-a + 5)
= 4((a - 1\()^{2}\) - 2(-a + 5))
= 4(\(a^{2}\) - 2a + 1 + 2a - 10)
= 4(\(a^{2}\) - 9)
= 4(a - 3)(a + 3) ＜ 0
従って
-3 ＜ a ＜ 3.

2.
f(x) = -\(x^{2}\) + ax + a - 2
= -(\(x^{2}\) - ax) + a - 2
= -((x - \(\frac{a}{2}\)\()^{2}\) - \(a^{2}\)/4) + a - 2
= -(x - \(\frac{a}{2}\)\()^{2}\) + \(a^{2}\)/4 + a - 2.
又
g(x) = \(x^{2}\) - (a - 2)x + 3
= (x - (a - 2)/2\()^{2}\) - (a - 2\()^{2}\)/4 + 3
ですから, どのような \(x_{1}\), \(x_{2}\) に対しても
f(\(x_{1}\)) ≦ f(\(\frac{a}{2}\)) & g((a - 2)/2) ≦ g(\(x_{2}\))
が成立します。
従って f(\(\frac{a}{2}\)) ＜ g((a - 2)/2) となるようにすれば良い。
ということは
g((a - 2)/2) - f(\(\frac{a}{2}\)) > 0
ということですから即ち
- (a - 2\()^{2}\)/ 4 + 3 - (\(a^{2}\)/4 + a - 2) > 0
- (a - 2\()^{2}\) + 12 - (\(a^{2}\) + 4a - 8) > 0
(\(a^{2}\) - 4a + 4) - 12 + (\(a^{2}\) + 4a - 8) ＜ 0
\(a^{2}\) - 4a + 4 - 12 + \(a^{2}\) + 4a - 8 ＜ 0
2\(a^{2}\) -16 ＜ 0
\(a^{2}\) - 8 ＜ 0
つまり -2\(\sqrt{\quad}\)2 ＜ a ＜ 2\(\sqrt{\quad}\)2.