An+1-3=(4An-9)/(An-2)-3
An+1-3=(An-3)/(An-2)
An+1-3=(An-3)/(An-3+1)
Bn+1=Bn/(Bn+1)
1/Bn+1=(Bn+1)/Bn
1/Bn+1=1+1/Bn
1/Bn+1-1/Bn=1
階差が等差数列で．．．．
あとはいいでしょう
もう一つのは両辺に４をたすと同様にできます．
頑張って下さい．

（追伸）
さっそくのご返事ありがとうございました．
実はあの手の問題は今を去ること２０年ほど前に
私が高校生の時”成基学園”という京都にある塾
の通信教育のなかにありました．そのときは確か
誘導形式の問題であったように思います．その時
の印象が強烈で記憶に残っています．駿台（予備校）
に通っていたときもあったように思います．
　解法は例えば
x=(4x-9)/(x-2)
の様に特性方程式みたいなのを考えてその解を
両辺から引くという具合にします．
私も教員をしてますが問題を生徒が聞きに来て
「わからん」とはいいにくいですよね．
　昨日”数学”で検索をかけてこのぺ－ジを見つ
けました．昨日は会議で詳しくかけませんでした
ので追加させていただきました．これからも頑張
って下さい．

たびたび済みません。どうも気になってしまったもので
。。。。

　A1=4　An＋１＝(4An－９)/(An－2)　(n=1,2,3・・・)
　上の数列の一般項の求めかたを教えてください。
　（ 式の中の1,n＋１,n,nはAよりも小さい文字です）

ですが、ええっと、An = (3n+1)/n ではないでしょうか？

漸化式とか色々と難しいことが解答としてあるのですが、
これって、n=1からはじまっているので、まず最初に実際
に代入してみて

A1 = 4 = \(\frac{4}{1}\)
A2 = \(\frac{7}{2}\)
A3 = \(\frac{10}{3}\)
A4 = \(\frac{13}{4}\)
...

として、分母と分数を別々に

Bn = (4,7,10,13,...)
Cn = (1,2,3,4,...)

という単純な２つの等差数列に“還元して”求めてはい
けないのでしょうか？そのところをお教えいただきたく
思います。

あと、ベクトルのスカラ積からベクトルの大きさを求める
問題がどこかにありましたが、あれもガシガシと計算すれ
ばできるような気も…。

yukiさんへ

　\(\frac{10}{2}\)分の漸化式についてですが、おっしゃる通りＪＡＧＥＲ
さんの１問目はその通りです。分子分母別々に考えてできます。

けれど２問目は一般項Ａn=(24-２^n+1)/(２^n-1-１)で、
分子分母別々に考えるのは大変難しく思われます。

　また１問目も類推によるものなので数学的帰納法による証明
が必要になると思います。

（武田談：お手紙でアドバイスを頂きました。要約し表現を
変えて掲載します。）
yukiさんのやり方を「分母分子法」、kyukusuさんのやり方を
「特性方程式法」と呼ぶとすると、

「特性方程式法」は、問１のときは両辺から３を引くことで、
一般項ａ_n＝（３ｎ＋１）／ｎを求めることがで
きるが、問２のときは両辺から２を引くか、４を加えること
で求めるようだが、一般項ａ_n＝(24-２ⁿ⁺¹)/(２^n-1-１)
はｎ＝１のとき分母＝０となり、初項ａ₁＝４とはなら
ないので、計算間違えだろう。計算法が難解でまだ確認はで
きない。

「分母分子法」は、問１も問２も求めることができるが、
問２は分母と分子の階差数列が等比数列になる場合なので、
解き方は難解であるし、類推にすぎない答である。しかし、
階差数列が得意な人には答が出せそうです。

私が紹介するのは、「大学への数学」今月号(1999.9)の特集
に載っていた方法（「αβ法」と呼ぶことにしよう）です。
分数式の漸化式を解くときに、まず
　　　ａ_n+1＋α
ｂ_n+1＝─────　とおき、与式ａ_n+1を
　　　ａ_n+1＋β
代入する。この置き方が特徴である。

問１は計算すると、α＝βとなるので、この「αβ法」では
解けません。残念ですね。（後で分かるのだが、やさしい等
差の方はダメなようだ。）
しかし、難問の問２の方がα≠βとなるので、解けるのです。

　　　４ａ_n＋８
　　　────　＋α
　　　ａ_n＋６
ｂ_n+1＝──────
　　　４ａ_n＋８
　　　────　＋β
　　　ａ_n＋６

分母と分子にａ_n＋６を掛けて、
　　　４ａ_n＋８＋α（ａ_n＋６）
ｂ_n+1＝────────────
　　　４ａ_n＋８＋β（ａ_n＋６）

　　　（４＋α）ａ_n＋８＋６α
　　＝────────────
　　　（４＋β）ａ_n＋８＋６β

　　　（４＋α）　ａ_n＋（８＋６α）／（４＋α）
　　＝─────・───────────────
　　　（４＋β）　ａ_n＋（８＋６β）／（４＋β）

　　　　４＋α
ｂ_n+1＝────・ｂ_n
　　　　４＋β
となるためには、α＝（８＋６α）／（４＋α）
βの場合でも同じである。そこで、ｘとおき計算すると、
ｘ（４＋ｘ）＝８＋６ｘ
ｘ²－２ｘ－８＝０という２次方程式が出てくる。
因数分解して、（ｘ－４）（ｘ＋２）＝０
∴ｘ＝４，－２
これは、「特性方程式法」の４を加えるか２を引くと同じに
なっている。α＝４、β＝－２とおく。逆でも同じ結果にな
る。
　　　　８
ｂ_n+1＝──・ｂ_n＝４ｂ_n
　　　　２
ｂ_nは等比数列になる。どうやら「αβ法」はｂ_n
数列が等比数列になるのに向いているようだ。
公比は４で、
ａ₁＝４より、
　　　ａ₁＋α　４＋４　８
ｂ₁＝────＝───＝─＝４
　　　ａ₁＋β　４－２　２
初項は４なので、
ｂ_n＝４・４^n-1＝４ⁿ

したがって、
　　　ａ_n＋α
ｂ_n＝─────より、
　　　ａ_n＋β

　　　ａ_n＋４
４ⁿ＝─────
　　　ａ_n－２

４ⁿ（ａ_n－２）＝ａ_n＋４
（４ⁿ－１）ａ_n＝２・４ⁿ＋４

∴　　２・４ⁿ＋４
ａ_n＝──────　……（答）
　　　４ⁿ－１

（武田談：便せん４枚にわたるアドバイスを頂きました。
大事な点もあるので、全文掲載することにしました。）

この問題も１次変換です。
（１）An＋１＝(4An－9)/(An－2)は
　　　　(1)'　ｗ＝(4ｚ－9)/(ｚ－2)
（２）An＋１=(4An＋8)/(An＋6)は
　　　　(2)'　ｗ＝(4ｚ＋8)/(ｚ＋6)
と書き直します。
１次変換ｗ＝(ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ)（ｃ≠０）について
次の定理が成り立つ。
＜１＞不動点が１個のとき、不動点をξ1とすると、
　　　　１　　　　　１
　　　────＝────＋ｋ
　　　ｗ－ξ1　　ｚ－ξ1
＜２＞不動点が２個のとき、不動点をξ1、ξ2とすると、
　　　ｗ－ξ1　　　　ｚ－ξ1
　　　────＝ｋ・────
　　　ｗ－ξ2　　　　ｚ－ξ2

この問題（大学入試でしょう）を作った大学の先生は、複素
関数論の教科書の例題等から、考え出したのでしょう。

（解１）不動点を求めると、ｚ＝(４ｚ－９)/(ｚ－２)より、
（ｚ－３）²＝０（重解）より、定理＜１＞が使
える。ξ1＝３
計算すると、ｋ＝１
　　　　１　　　１
　　　───＝───＋１
　　　ｗ－３　ｚ－３
したがって、
　　　　　１　　　　１
　　　────＝────＋１
　　　ａ_n+1－３　ａ_n－３
となる。
数列
　　　　　１
　｛　────　｝は等差数列である。
　　　ａ_n－３
　　１
────＝１＋（ｎ－１）・１＝ｎ
ａ_n－３
１＝ｎ・（ａ_n－３）
∴ａ_n＝（３ｎ＋１）／ｎ

（解２）不動点を求めると、ｚ＝（４ｚ＋８）／（ｚ＋６）
より、（ｚ－２）（ｚ＋４）＝０より、定理＜２＞が使える。
ξ1＝－４、ξ2＝２
計算すると、（飯島先生のやり方と同じで）ｋ＝４
　　　ｗ＋４　　　ｚ＋４
　　　───＝４・───
　　　ｗ－２　　　ｚ－２
したがって、
　　　ａ_n+1＋４　　　ａ_n＋４
　　　────＝４・────
　　　ａ_n+1－２　　　ａ_n－２
となる。
数列
　　　ａ_n＋４
　｛　───　｝は等比数列である。
　　　ａ_n－２
ａ_n＋４
───＝４・４^n-1＝４ⁿ
ａ_n－２
ａ_n＋４＝４ⁿ・（ａ_n－２）
∴ａ_n＝（２・４ⁿ＋４）／（４ⁿ－１）

（１）と（２）でやり方が異なるのがイヤなところ。統一的
なやり方で　できないかと考えたのが、以下の方法です。
　　　(1)'　ｗ＝(4ｚ－9)/(ｚ－2)
　　　(2)'　ｗ＝(4ｚ＋8)/(ｚ＋6)
を１次変換
　　　(1)''　（Ｘ）　（４　-9）（ｘ）
　　　　　　 （　）＝（　　　）（　）
　　　　　　 （Ｙ）　（１　-2）（ｙ）

　　　(2)''　（Ｘ）　（４　８）（ｘ）
　　　　　　 （　）＝（　　　）（　）
　　　　　　 （Ｙ）　（１　６）（ｙ）
に対応させる。

（解２）２の方が易しい。
行列の特性方程式
｜λ－４　　－８｜
｜　　　　　　　｜＝０を解くと、
｜－１　　λ－６｜
（λ－４）（λ－６）－（－１）（－８）＝０
λ²－１０λ＋１６＝０
（λ－２）（λ－８）＝０
∴λ＝２，８（固有値）
==========補足説明===============================
A=( 4 8 )
( 1 6 )
λ=2 に対する固有ベクトルを,(A-λI)v = 0 から求めます。
ここに I は単位行列です。
( 4-2 8 )(x) = (0)
( 1 6-2 )(y) (0)
これより
x+4y=0
固有ベクトルは
(-4)
( 1)
のスカラー倍です。

同様に、
λ=8 に対する固有ベクトルは,
( 4-8 8 )(x) = (0)
( 1 6-8)(y) (0)
より
x-2y=0
固有ベクトルは
( 2)
( 1)
のスカラー倍です。

いま求めた2つの固有ベクトル(縦ベクトル)を横に並べて
P=( -4 2 )
( 1 1 )
==========補足説明終わり===============================
これに対応する固有ベクトルを（-4）　（２）として、
　　　　　　　　　　　　　　（１），（１）
　　（-4　２）　　　　　　（４　８）
Ｐ＝（　　　）とおく。Ａ＝（　　　）に対して
　　（１　１）　　　　　　（１　６）　　　　　（２　０）
Ｐ^-1ＡＰ＝（　　　）となる。（対角化）
　　　　　（０　８）
両辺をｎ－１乗すると、
　　　　　　　　（２　０）^n-1
（Ｐ^-1ＡＰ）^n-1＝（　　　）
　　　　　　　　（０　８）

　　　　　　（２^n-1　　０）
Ｐ^-1Ａ^n-1Ｐ＝（　　　　　）
　　　　　　（０　　８^n-1）

　　　　　（２^n-1　　０）
∴Ａ^n-1＝Ｐ（　　　　　）Ｐ^-1
　　　　　（０　　８^n-1）

　（\(\frac{2}{3}\)・２^n-1＋\(\frac{1}{3}\)・８^n-1　　-\(\frac{4}{3}\)・２^n-1＋\(\frac{4}{3}\)・８^n-1）
＝（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）
　（-\(\frac{1}{6}\)・２^n-1＋\(\frac{1}{6}\)・８^n-1　　\(\frac{1}{3}\)・２^n-1＋\(\frac{2}{3}\)・８^n-1）

初項４＝\(\frac{4}{1}\)と考えて、ｘ₁＝４、ｙ₁＝１
（ｘ_n ）　　　 （４）
（　　）＝Ａ^n-1（　）を書き下して、
（ｙ_n ）　　　 （１）

｛ｘ_n＝\(\frac{4}{3}\)・２^n-1＋\(\frac{8}{3}\)・８^n-1　（分子）
｛ｙ_n＝-\(\frac{1}{3}\)・２^n-1＋\(\frac{4}{3}\)・８^n-1　（分母）

∴ａ_n＝ｘ_n／ｙ_n
　　　＝（２・４ⁿ＋４）／（４ⁿ－１）

（解１）
行列の特性方程式
｜λ－４　　　９｜
｜　　　　　　　｜＝０を解くと、
｜－１　　λ＋２｜
（λ－４）（λ＋２）－（－１）・９＝０
λ²－２λ＋１＝０
（λ－１）²＝０
∴λ＝１（固有値は重解となる）
==========補足説明===============================
この場合は退化型（化け猫がペシャンコ）です。

A=( 4 -9 )
( 1 -2 )
λ=1 に対して,(A-λI)v ≠ 0 から求めます。
この式を満たすベクトル v を任意にとります。例えば
v = ( 1 )
( 1 )
にします。
( 4-1 -9 )(1) = (-6)
( 1 -2-1 )(1) (-2)
ですから、たしかにゼロ・ベクトルになりませんが、
この右辺のベクトルを v' とします。
そうしたら、v' と v を並べて行列を作ります。
P =(-6 1)
(-2 1)
これで P ができました。

詳しくは、線型代数かJordan標準形の教科書を参照してくだ
さい。
==========補足説明終わり===============================
これに対応する固有ベクトルを（-6）　（１）として、
　　　　　　　　　　　　　　（-2），（１）
　　（-6　１）　　　　　　（４　-9）
Ｐ＝（　　　）とおく。Ａ＝（　　　）に対して
　　（-2　１）　　　　　　（１　-2）
　　　　　（１　１）
Ｐ^-1ＡＰ＝（　　　）となる。
　　　　　（０　１）
（重解だから、対角化できずに、三角行列になる）
両辺をｎ－１乗すると、
　　　　　　　　（１　１）^n-1
（Ｐ^-1ＡＰ）^n-1＝（　　　）
　　　　　　　　（０　１）

　　　　　　（１　　ｎ－１）
Ｐ^-1Ａ^n-1Ｐ＝（　　　　　　）
　　　　　　（０　　　　１）

　　　　　 （１　　ｎ－１）
∴Ａ^n-1＝Ｐ（　　　　　　）Ｐ^-1
　　　　　 （０　　　　１）

　（３ｎ－２　　－９ｎ＋９）
＝（　　　　　　　　　　　）
　（　ｎ－１　　－３ｎ＋４）

初項４＝\(\frac{4}{1}\)と考えて、ｘ₁＝４、ｙ₁＝１
（ｘ_n ）　　　 （４）
（　　）＝Ａ^n-1（　）を書き下して、
（ｙ_n ）　　　 （１）

｛ｘ_n＝３ｎ＋１　　（分子）
｛ｙ_n＝ｎ　　　　　（分母）

∴ａ_n＝ｘ_n／ｙ_n
　　　＝（３ｎ＋１）／ｎ