(1+\(\sqrt{\quad}\)5)/2

はじめは、\(\sqrt{\quad}\)１を無限個足していく問題かと思っていましたが、Tetsuyaさんの

解答を見て、問題が次の形をしているのだと分かりました。

\(\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots }}}}\)

この問題は、 \(S=1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots }}}\) 　とおくと、

Ｓ＝１＋\(\sqrt{\quad}\)Ｓと表せるから、

Ｓ－１＝\(\sqrt{\quad}\)Ｓと変形して、２乗すると、

\(S^{2}-2S+1=S\)

\(S^{2}-3S+1=0\)

解の公式より、

\(S=\frac{3\pm \sqrt{3^{2}-4\cdot 1\cdot 1}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\)

\(\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots }}}}=S-1=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}-1=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\)

Ｓ－１＞０より、

\(\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots }}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) ………（答）