図の青線で囲まれた部分が求める領域です。
(赤線は三角形DEFの例です。)
曲線部分は極方程式の形式で記述することができます。
面積を計算すると、π/12+(3\(\sqrt{\quad}\)3)/16 となるでしょう。
(計算ミスをしている可能性もありますので、あまり信用しないよう。)

　早々にお答えいただいてありがとうございます。
申し訳ありませんが、青い部分の極方程式は
どのようにして求められるのでしょうか？

こんにちは。

LF＝r、∠FLC＝θとおいたときのrとθの関係を求めてみよう。
ただし、0°≦θ≦60°とする。
対称性より、三角形DEFは正三角形となり、正三角形ABCの重心をG
とすると、正三角形DEFの重心もGとなる。
GからLFに下ろした垂線の足をHとする。
Lを原点、LC方向をx軸、LA方向(LG方向)をy軸とするxy直交座標を
考えると、
直線LFの式はy＝(tanθ)x、G(0, (\(\sqrt{\quad}\)3)/6)となるから、
GとLFの距離すなわちGHの長さは、
点と直線の距離の公式を用い、
また1+(tanθ\()^{2}\)＝1/(cosθ\()^{2}\)に注意し、
cosθ≧0であることから、
GH＝((\(\sqrt{\quad}\)3)/6)cosθとなる。
∠FGH＝60°、∠LGH＝θであることから、
FH＝(\(\frac{1}{2}\))cosθ、LH＝((\(\sqrt{\quad}\)3)/6)sinθとなり、
LF＝(\(\frac{1}{2}\))cosθ+((\(\sqrt{\quad}\)3)/6)sinθとなる。
したがって、Lを原点、LC方向を始線とする極座標を考えると、
0°≦θ≦60°のとき、
r＝(\(\frac{1}{2}\))cosθ+((\(\sqrt{\quad}\)3)/6)sinθ
という極方程式でFの軌跡が求まります。

※ 60°＜θ≦90°のとき、正三角形DEFは正三角形ABCに
完全に含まれてしまうので計算しなくていいでしょう。
※ ちなみに、θ＝90°(t＝1に相当)のときには
正三角形DEFは存在しませんね。