こんにちは。

(1) |\(z^{2}\)|=|z|^2 。
f(x)=0 の3解の絶対値を a, b, c とする。
(すなわち、a, b, c は0以上の実数。)
(ア) a=\(a^{2}\) のとき、a=0, 1 。
(イ) a=\(b^{2}\) のとき、
(あ) b=\(a^{2}\) のとき、a=\(a^{4}\) ∴ a=0, 1 。
(い) b=\(b^{2}\) のとき、b=0, 1 ∴ a=0, 1 。
(う) b=\(c^{2}\) のとき、
(A) c=\(a^{2}\) のとき、a=\(a^{6}\) ∴ a=0, 1 。
(B) c=\(b^{2}\) のとき、b=\(b^{4}\) ∴ b=0, 1 ∴ a=0, 1 。
(C) c=\(c^{2}\) のとき、c=0, 1 ∴ b=0, 1 ∴ a=0, 1 。
(ウ) a=\(c^{2}\) のとき、(イ) と同様にして a=0, 1 。
以上より、a=0, 1 。
同様にして b=0, 1 、c=0, 1

(2) f(x) は3通り。(conj(z) は z の共役複素数。)
(ア) f(x)=0 が相異3実解を持つとき、
　　(1) より解 x=-1, 0, 1 でなければならない。
このとき f(x)=(x+1)x(x-1)=\(x^{3}\)-x 。
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(イ) f(x)=0 が1実解と2共役虚解を持つとき、
　　実数は2乗しても実数なので、
　　f(x)=0 の実解を x とおけば、\(x^{2}\)=x ∴ x=0, 1 。
　　また虚数の2乗が0または1または自分自身になることはないので、
　　虚解の1つを z とおけば、
　　\(z^{2}\)=conj(z)
　　ここで |z|=1 だから、両辺に z を掛けて、
　　\(z^{3}\)=1 。
　　すなわち、f(x)=0 の2共役虚解は1の2つの原始3乗根に等しい。
　　したがって、f(x)=x(\(x^{2}\)+x+1)=\(x^{3}\)+\(x^{2}\)+x
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　　または f(x)=(x-1)(\(x^{2}\)+x+1)=\(x^{3}\)-1 。
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