条件より、2f(x)-xf'(x)=-2 。
これを解いて、f(x)=C\(x^{2}\)-1 。
x=2 のとき f(x)=\(\frac{1}{3}\) より、C=\(\frac{1}{3}\) 。
したがって f(1)=-\(\frac{2}{3}\) 。

「条件より」の部分をもう少し詳しく教えてください。
よろしくお願いします。

点Ｐの座標を（ｘ，ｙ）とすると、

点Ａ（０，ｙ）

点Ｂは点Ｐでの接線がｙ軸と交わるところだから、

\(Y-y=f\prime (x)(X-x)\)

Ｘ＝０より、点Ｂの座標は、 \((0,y-xf\prime (x))\)

ＡＢの中点が（０，－１）より、

\(\frac{y+\{ y-xf\prime (x)\} }{2}=-1\)

\(2y-xf\prime (x)=-2\)

したがって、

\(2f(x)-xf\prime (x)=-2\)

このあと、この微分方程式を解くには、次の形にしてから

解くと良い。

\(2y-x\frac{dy}{dx}=-2\) 　

曲線 y=f(x) (x≧0) 上の任意の点Ｐから、
ｙ軸に下ろした垂線とｙ軸との交点をＡ、
点Ｐにおける接線とｙ軸との交点をＢとすると、
点(0,-1)が線分ＡＢの中点となった。
いま、曲線 y=f(x) が点(2,\(\frac{1}{3}\))を通るとすると、
f(1)の値はいくらか。

条件より、2f(x)-xf'(x)=-2 。
これを解いて、f(x)=C\(x^{2}\)-1 。
x=2 のとき f(x)=\(\frac{1}{3}\) より、C=\(\frac{1}{3}\) 。
したがって f(1)=-\(\frac{2}{3}\) 。

C=\(\frac{1}{3}\)にしたいのですが計算方法がわかりません。
申し訳ないのですが教えてください　m(__)m

２ｙ－ｘ（ｄｙ／ｄｘ）＝－２より、
ｘ（ｄｙ／ｄｘ）＝２ｙ＋２
ｘｄｙ＝（２ｙ＋２）ｄｘ

　　１　　　　１
――――ｄｙ＝―ｄｘ
２ｙ＋２　　　ｘ

両辺を積分して、Ｃは積分定数とする。

１
―・ｌｏｇ｜ｙ＋１｜＝ｌｏｇ｜ｘ｜＋Ｃ
２

ｌｏｇ｜ｙ＋１｜＝２ｌｏｇ｜ｘ｜＋Ｃ
ｌｏｇ｜ｙ＋１｜＝ｌｏｇ（Ｃ・ｘ^2）
ｙ＋１＝\(\pm\)Ｃ・ｘ^2
ｙ＝Ｃ・ｘ^2－１

このグラフが点（２，１／３）を通るから、
ｘ＝２、ｙ＝１／３を代入して、
１／３＝Ｃ・２^2－１
Ｃ・４＝１／３＋１＝４／３
∴Ｃ＝（４／３）・（１／４）＝１／３