「トリボナッチ数列」と言う名前は、初めて聞きました。
「フィボナッチ数列」の一般項を求めるときに購入した本
　培風館新数学シリーズ２０「差分方程式」高橋健人著　
を調べてみました。

フィボナッチ数列は、２階差分方程式と言い、
ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝１のとき
ｆ（ｎ＋２）＝ｆ（ｎ＋１）＋ｆ（ｎ）と言う形です。
ご質問のトリボナッチ数列は３階差分方程式と呼ばれている
ようです。
この本によると、ｎ階差分方程式は特性方程式を使って解く
ようです。

例えば、ｆ（ｎ＋２）＝ｆ（ｎ＋１）＋２ｆ（ｎ）のとき、
ｆ（ｎ＋２）－ｆ（ｎ＋１）－２ｆ（ｎ）＝０
ｆ（ｎ）＝ρⁿとおくと、
ρⁿ⁺²－ρⁿ⁺¹－２ρⁿ＝０
ρⁿで割ると、
ρ²－ρ－２＝０
(ρ－２)(ρ＋１)＝０（※因数分解できる場合）
ρ＝２，－１
したがって、
ｆ（ｎ）＝Ｃ₁(２)ⁿ＋Ｃ₂(－１)ⁿ
初期条件ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝１とすると、
Ｃ₁＝１／３、Ｃ₂＝－１／３
∴ｆ（ｎ）＝１／３｛(２)ⁿ－(－１)ⁿ｝

フィボナッチ数列の場合でやってみましょう。
ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝１のとき
ｆ（ｎ＋２）＝ｆ（ｎ＋１）＋ｆ（ｎ）と言う形です。
特性方程式ρ²－ρ－１＝０
因数分解できないので、解の公式より、
ρ＝(１\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)５)/2
初期条件ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝１より、
Ｃ₁＝１／\(\sqrt{\quad}\)５、Ｃ₂＝－１／\(\sqrt{\quad}\)５
∴ｆ（ｎ）＝１／\(\sqrt{\quad}\)５｛((１＋\(\sqrt{\quad}\)５)/2)ⁿ－((１－\(\sqrt{\quad}\)５)/2)ⁿ｝

つまり、特性方程式の解がポイントのようです。
さて、質問の３階差分方程式ですが、
ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝１，ｆ（３）＝２、
ｆ（ｎ＋３）＝ｆ（ｎ＋２）＋ｆ（ｎ＋１）＋ｆ（ｎ）より、
特性方程式はρ³－ρ²－ρ－１＝０
なんと３次方程式の解法がここで出てきました。しかし、こ
の３次方程式は上手には解けません。
α＝³\(\sqrt{\quad}\)((１９＋３\(\sqrt{\quad}\)３３)/27)
β＝³\(\sqrt{\quad}\)((１９－３\(\sqrt{\quad}\)３３)/27)
ω＝(－１＋\(\sqrt{\quad}\)３ｉ)/2
ω²＝(－１－\(\sqrt{\quad}\)３ｉ)/2
より、
ρ₁＝α＋β＋\(\frac{1}{3}\)
ρ₂＝αω＋βω²＋\(\frac{1}{3}\)
ρ₃＝αω²＋βω＋\(\frac{1}{3}\)
が特性方程式の３つの解となります。
ρ₁は実数解
ρ₂とρ₃は虚数解
虚数解の方を三角関数の極形式にして整理すると、
ｆ（ｎ）＝Ａ₁(ρ₁)ⁿ＋ｒⁿ{Ａ₂ｃｏｓ(ｎθ)＋Ａ₃ｓｉｎ(ｎθ)}
ただし、ｒ²＝\(\frac{1}{36}\)・(３α＋３β－２)²＋\(\frac{3}{4}\)・(α－β)²
θ＝ｃｏｓ^-1｛(-\(\frac{1}{2}\)・α－\(\frac{1}{2}\)・β＋\(\frac{1}{3}\))／ｒ｝
初期条件より、Ａ₁、Ａ₂、Ａ₃を求める。
しかし、近似値でしか求められない。これでいいのだろうか？