(1)
0 ≦ θ ＜ 2 とし、z = r(cos θ + i sin θ)とおくと、

\(\frac{1}{z}=\frac{1}{r}(\cos \theta -i\sin \theta )\) だから、

\(z+\frac{1}{z}=(r+\frac{1}{r})\cos \theta +i(r-\frac{1}{r})\sin \theta\) で、

\(\vert z+\frac{1}{z}\vert ^{2}=(r+\frac{1}{r})^{2}\cos ^{2}\theta +(r-\frac{1}{r})^{2}\sin ^{2}\theta\)

\(=r^{2}+\frac{1}{r^{2}}+2(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )\)

\(=r^{2}+\frac{1}{r^{2}}+2\cos 2\theta\)

したがって、

\(\vert z+\frac{1}{z}\vert\) は、ｚ＝ｒまたはｚ＝－ｒのとき最大値 \(r+\frac{1}{r}\) をとり、

　　　　　　ｚ＝ｉｒまたはｚ＝－ｉｒのとき最小値 \(r-\frac{1}{r}\) をとる。………（答）

(2)
与式はn = 1 のとき明らかに成立する。

k ≧ 1 とし、n = k のとき成立すると仮定する。

すなわち
（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^k＝ｃｏｓｋθ＋ｉｓｉｎｋθ
を仮定する。

このとき、

\((\cos \theta +i\sin \theta )^{k+1}=(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \theta +i\sin \theta )^{k}\)

\(=(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos k\theta +i\sin k\theta )\)

\(=(\cos \theta \cos k\theta -\sin \theta \sin k\theta )+i(\sin \theta \cos k\theta +\cos \theta \sin k\theta )\)

\(=\cos (k+1)\theta +i\sin (k+1)\theta\)

　　　　　　　　　　　　　　加法定理

よって、ｎ＝ｋ＋１のときも成立する。

以上より、題意は示された。