問題が良く分からないのだが (^_^;
d\(\frac{x}{d}\)t = (ax + b)/x
だとすると
∫xdx/(ax + b) = ∫dt
t + C = (x - b log(ax + b))/a
なので
t = 0 の時 x = 0 になるように定数 C を調節すればよい
(が, 与式の分母が x なので一寸問題設定が変ではある)。

d\(\frac{x}{d}\)t = ax + (\(\frac{b}{x}\))
だとすると
∫xdx/(a\(x^{2}\) + b) = ∫dt
∫dt = (1/(2a))∫d(a\(x^{2}\) + b)/(a\(x^{2}\) + b)
t + C = (1/(2a)) log (a\(x^{2}\) + b)
で以下同様。