パソコンを使わないと計算が出来ません。
それも階乗そのものの計算ではオーバーフローしてしまいま
す。そこで、対数を利用した桁数の計算を使いプログラムを
作ってみました。
＜ＢＡＳＩＣプログラム＞
10 s=0:t=0
20 input n 'ｎ！のｎを入力
30 for x=1 to n
40 s=s+log(x)/log(10) 'log(x)は底がｅなので底の変換
50 next x
60 print s
70 t=int(s) '小数点以下切り捨て
80 print t+1;"桁" '整数部分＋１で桁数になるから
90 end

このプログラムでやると、簡単に計算できました。
ｎ＝１９９８のとき、５７２９桁……（答）

　古い記事だと思いますが、スーパー電卓で計算したので
お知らせします。

-------------------------------------------------------
1998!=
8294835148 7009335697 2334512400 2811501453 5197801545
2825055511 6150726315 1051926168 6844105129 7141885749
2596886678 6457814180 2353297083 9243070568 1307237434
5765105193 4481879980 9756390988 6257425478 9358777774
8988007113 4503927905 8056208847 0321871331 5251436507
7758262542 5531485731 4578770570 4860532502 8918227196
7249944913 8508549192 4804198822 8090448044 4189995427
0216751265 9079645172 8969593257 2720642071 4754465927
8864412527 1458220775 0210244618 6819324003 5893280106
4292175387 9978147945 9825583171 9666006027 8940978380 ＜５００桁＞
2947887645 5126225539 0583363733 1753126552 5924232467
8723531508 1370939138 6259913257 2994385243 9205839073
5823893827 0141703282 2990251562 6614514658 9482473085
0840060739 1990484604 3740949123 6744307131 8842775819
4999712979 0128830969 5101162073 7722037974 3155909364
2610612856 9272114796 9776065389 6310001759 0791783310
2297670933 9077709458 5412414804 2695337241 7652340533
7628189491 1994667674 5728312905 7628767783 7621352067
4434117914 6401428776 9846698031 2897114118 6085812057
5116433721 5986382770 5192063905 0252418156 7026069211 ＜１０００桁＞
9712840822 3574700126 7744678737 0097232682 9740813868
5602570986 7314807581 9283148110 4704158432 6238808132
4841379204 8470011879 5718413579 4850794671 5688883344
4557235630 6549776614 7939468865 8657013801 1709654633
7281560244 4086557429 2610442123 4426649900 3671691467
8450439715 7323700551 0910662804 1435361134 9471951460
1473944041 9931099511 3554191951 3244868550 5980720382
9507504906 1893425669 9820036923 1313780549 9044742339
7981219129 6131567649 4727377963 6642267632 9255894344
5625915515 5124288534 4179809495 4755003902 2626085538 ＜１５００桁＞
7278909438 9170098068 2487916917 1533430678 9569822084
2063343251 4590735678 5417063548 5674953381 5388936934
1788074035 3802886166 5014269312 8357362321 5858816576
9822638893 3347662218 0943240174 8706887364 1706126048
3898865476 5937008194 7289359202 0513312766 1086760309
7062270989 4327142824 5917147868 6217073941 8874266830
5531311550 3274787764 4001444051 3641721718 4834687861
5782788147 5287163907 8436758570 0121031952 3794102493
7002546894 3413554823 1693807271 6141567506 9640680342
1191763161 8250808317 0168820503 9350566197 3999210724 ＜２０００桁＞
9454364536 5008257241 9128622497 5907652133 1852771998
1263702636 3062805734 1320138244 8986414107 4240097804
4753711173 0288600217 6232030046 0237383092 6426426438
9538785591 6294601792 5493706754 6929837686 8100647057
3978516371 9475232871 6459495643 5136699997 3717842044
8216256982 7832020842 8040729548 5131165697 5077498289
4054675962 5478427478 8750270324 1355948671 5368379838
6965953135 4203521555 6552626757 8961676555 7304199627
0639028315 7000721290 7079316322 9666548311 2468691979
1851146231 9573737959 1217303973 0288186926 0808933874 ＜２５００桁＞
7417682785 6734961442 6041108485 0172723819 2121397416
9689992446 5837434686 1887604226 8576894391 1807473956
2915713520 3264896970 0445047879 6087596766 2418782357
1194682416 2514386739 0247024505 9372084843 0821991906
3167755155 4133867471 3502710983 0168507786 7192310210
5844501310 3867753021 8948226932 5432278789 3175558392
5327022370 6512464166 4098881855 6617108477 8534859613
5788651292 0885662768 8569265491 6347329681 9118250071
2068994109 4888666181 9028289951 0310431618 8126458970
9152418236 2916021700 2604274309 1382372484 0535748251 ＜３０００桁＞
9878410111 7956889362 8039198732 9370389011 0367133682
8220472599 2255220701 0490434663 4672563902 7150116462
9970528836 1634824845 7329827919 0093250088 7650530142
5895019252 1528448599 5316824631 0709724246 4417796775
5748491046 2085293436 2461932440 2646628716 2267082228
8882096282 7805589247 7551735284 6962909656 7937716998
1894255951 7364268731 3354064159 2940581944 3794495779
8063977099 0547580823 8616087018 7334329362 0370515519
1326914348 8420792669 9389178914 1256483609 4315191568
1141060048 1006698723 9693653315 6303470605 9022454558 ＜３５００桁＞
7100826227 5160825180 9229501014 6043928565 4693602928
4844789673 8550855646 5586392521 2782419064 1809730562
3495689215 0870936080 4646726141 4365137450 7944369926
0104529660 1234082721 5129792504 4885555223 9498424565
0936003765 7543996096 9944430898 5823810846 2459827226
8344021667 2404512972 1799807755 0370945201 8114465511
1169675611 7357828375 8463869807 9830406042 2094925923
0471686884 1720454783 0588032060 2839713691 5283353203
7065696701 8091338657 1616102790 7167125114 6779310359
6629597126 6571324210 2793964408 0288838528 8228776463 ＜４０００桁＞
4535150168 4356344131 7366035229 8081721301 2178211663
5441087073 3932011073 6902956748 3868889838 4443735579
8402570934 4124631583 4862595175 7810256382 3770194999
1559083645 5739891876 9460920758 6051078077 6351558626
0268596458 8687041219 4450166382 1190312249 6218280114
0051885316 8671789467 8162130142 5155303011 3477830298
4832243076 5836200583 9295252777 5028349319 3113963161
4845062616 1805783722 3112642221 0286558877 6187202451
9439858616 8386189453 0257797598 1273453760 6894790997
6403767685 5349768847 2555850331 4740691431 1688288205 ＜４５００桁＞
8456216694 2472109140 3599899136 4773359482 6234468898
8953592330 9435904128 3455534352 8517357496 2934643459
0207115040 5823183738 5557802709 0243415699 7887896477
4385692977 7340246063 8172447254 2997424586 9773836897
4510403321 8485554915 9972052596 7385731481 5115192763
3169742402 3116218619 5807231593 1248124350 7930365877
3729974438 8991720803 1143213424 9044053206 5741084966
4442765354 9153588490 9505955480 2520801556 6738890408
5164615875 6463431386 9100354245 1277844749 5567331379
1366820138 3580795830 1333471504 2370315389 2003277007 ＜５０００桁＞
8857130892 6097173083 0053529409 0671033741 4072128274
9330042180 4017551195 2783445956 6625962802 9707634936
6956500825 1205644529 8074720911 1049666626 0596125867
0208859858 0901121238 6105618822 9685422110 1322523144
1182389718 7404360709 1007241322 4960000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 ＜５５００桁＞
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 ＜５７００桁＞
0000000000 0000000000 000000000.　　　　　　　　　　　 ＜５７２９桁＞