a\(x^{3}\) - \(x^{2}\) - x - a + 2 = 0
a\(x^{3}\) - a - (\(x^{2}\) + x - 2) = 0
a(\(x^{3}\) - 1) - (\(x^{2}\) + x - 2) = 0
a(x - 1)(\(x^{2}\) + x + 1) - (x - 1)(x + 2) = 0
(x - 1)(a(\(x^{2}\) + x + 1) - (x + 2)) = 0.
(x - 1)(a\(x^{2}\) + (a - 1)x + (a - 2)) = 0.
だから
a\(x^{2}\) + (a - 1)x + (a - 2) = 0
が実数解を持てばよい。
a = 0 とすると -x - 2 = 0 は実数解を持つから題意を満たす。
よって a ≠ 0 の時, x に関する判別式を取って
D = (a - 1\()^{2}\) - 4a(a - 2)
= \(a^{2}\) - 2a + 1 - 4\(a^{2}\) + 8a
= -3\(a^{2}\) + 6a + 1
= -(3\(a^{2}\) - 6a - 1) ≧ 0
3\(a^{2}\) + 6a + 1 ≦ 0
(-3 - \(\sqrt{\quad}\)6)/3 ≦ a ≦ (-3 + \(\sqrt{\quad}\)6)/3.

質問９７５の３次方程式の解ですが、途中の計算が違っています。
１６行目の3\(a^{2}\) + 6a + 1 ≦ 0ですが正しくは
3\(a^{2}\) - 6a - 1 ≦ 0 です。
ちなみの答えは
(1 - \(\sqrt{\quad}\)6)/3 ≦ a ≦ (1 + \(\sqrt{\quad}\)6)/3
になります。それだけです。では。