(2x+6)/(\(x^{2}\)+2x+2) ということでよろしいのでしょうか？

(2x+6)/(\(x^{2}\)+2x+2)=k とおく。
2x+6=k(\(x^{2}\)+2x+2)
k\(x^{2}\)+(2k-2)x+(2k-6)=0
D/4=(k-1\()^{2}\)-k(2k-6)>=0
\(k^{2}\)-4k-1＜=0
2-\(\sqrt{\quad}\)5 ＜= k ＜= 2+\(\sqrt{\quad}\)5

最大値 2+\(\sqrt{\quad}\)5
最小値 2-\(\sqrt{\quad}\)5

ってな感じでいかがでしょうか。

多分 y = (2x + 6)/(\(x^{2}\) + 2x + 2) なんだろうと勝手に考えて
y・\(x^{2}\) + 2y・x + 2y = 2x + 6
y・\(x^{2}\) + 2(y - 1)x + 2y - 6 = 0.
y = 0 の時は -2x - 6 = 0 より x = -3.
それ以外の時, x に関する判別式 D をとると
x が実数となるための条件は
D/4 = (y - 1\()^{2}\) - y(2y - 6)
= \(y^{2}\) - 2y + 1 - 2\(y^{2}\) + 6y
= -\(y^{2}\) + 4y + 1 ≧ 0.
即ち
\(y^{2}\) - 4y - 1 ≦ 0.
2 - \(\sqrt{\quad}\)5 ≦ y ≦ 2 + \(\sqrt{\quad}\)5.
これらが最大値と最小値である。
このときの x の値は... 求めたくないなぁ (笑)。
y = 2 - \(\sqrt{\quad}\)5 の時 x = -(3 + \(\sqrt{\quad}\)5) \(\pm\) \(\sqrt{\quad}\)(5 - 10\(\sqrt{\quad}\)5),
y = 2 + \(\sqrt{\quad}\)5 の時 x = -(3 - \(\sqrt{\quad}\)5) \(\pm\) \(\sqrt{\quad}\)(5 - 2\(\sqrt{\quad}\)5)
になったが, あっているかどうか自信がない (^_^;