t = z - k と置く
lim_(z \(\vec{k}\)) (\(\frac{d}{d}\)z)((z - k)/(sin πz)\()^{2}\)
= lim_(t → 0) (\(\frac{d}{d}\)t) (t / sin (πt - πk)\()^{2}\)
ここで
sin (πt - πk) = sin πt cos πk - cosπt sinπk
= (-1\()^{k}\) sin πt
であるから
与式 = (-1\()^{k}\) lim_(t → 0) (\(\frac{d}{d}\)t) (t / sinπt\()^{2}\)
さて
(\(\frac{d}{d}\)t) (t / sinπt\()^{2}\) = 2(t / sinπt) (\(\frac{d}{d}\)t)(\(\frac{t}{s}\)inπt)
であり
\(\frac{t}{s}\)in πt = (1/π) (π\(\frac{t}{s}\)in πt) → 1/π (as t → 0)
だから問題は
lim_(t → 0) (\(\frac{d}{d}\)t)(\(\frac{t}{s}\)inπt)
= lim_(t → 0)((sin πt - πt cos πt)/si\(n^{2}\) πt
= lim_(x → 0) ((sin x - x cos x)/si\(n^{2}\) x
(x = πt)
である。

二通りやり方がある。
(1) ロピタルの定理による方法
lim_(x → 0)(sin x - x cos x)/si\(n^{2}\) x
= lim_(x → 0)(cos x - cos x + x sin x)/(2 sin x cos x)
= lim_(x → 0) (x sin x /(2 sin x cos x)
= lim_(x → 0) (x/(2cos x)) = 0.

(2) Taylor 展開による方法
sin x = x - \(x^{3}\)/3! + o(\(x^{3}\)),
cos x = 1 - \(x^{2}\)/2! + o(\(x^{2}\))
より
(sin x - x cos x)/si\(n^{2}\) x
= (x - \(x^{3}\)/3! - x + \(x^{3}\)/2! + o(\(x^{3}\)))/(\(x^{2}\) + o(\(x^{2}\)))
= (\(x^{3}\)/3 + o(\(x^{3}\)))/(\(x^{2}\) + o(\(x^{2}\)))
= (\(\frac{x}{3}\) + o(x))/(1 + o(1)) → 0.

何れにしても 与式 = 0.