多分
(a + b)(c - d)≧4\(\sqrt{\quad}\)abcd
は
(a + b)(c + d)≧4\(\sqrt{\quad}\)(abcd)
の間違いでしかも a, b, c, d は全て ≧ 0 だと思う。
そうじゃないと
c ＜ d だと (a + b)(c - d) ＜ 0 で
abcd > 0 という反例が作れるし,
(1 + (-5))(3 + (-1)) ＜ 0 だが 1×(-5)×3×(-1) > 0
というような反例が作れるから。

そこで
(a + b)(c + d)≧4\(\sqrt{\quad}\)(abcd)
だと思ってやると
相加平均と相乗平均の関係から
a + b ≧ 2\(\sqrt{\quad}\)(ab),
c + d ≧ 2\(\sqrt{\quad}\)(cd)
等号成立は a = b 且つ c = d
辺々を掛け合わせると
(a + b)(c + d)≧4\(\sqrt{\quad}\)(abcd)
等号成立は a = b & c = d.

?????????????????????????
a>0,b>0,c>0,d>0????(a+b)(c+d)?4?abcd
??a+b?2?ab,c+d?2?cd???(a+b)(c+d)?4?abcd ?

(??)?a,b,c,d????????????????????????

（※文字化けしています。返信してもエラーしてしまいますので、
そのままのせますが、どうしたらよいでしょうか？）