\(x=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2},y=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\) とすると、

（１） \(\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}}{\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}=\frac{e^{t}-e^{-t}}{e^{t}+e^{-t}}\)

（２） \(\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2}\) より、 \(\frac{e^{t}-e^{-t}}{e^{t}+e^{-t}}=-\frac{1}{2}\)

\(e^{2t}=\frac{1}{3}\)

∴ \(t=-\frac{1}{2}\log 3\)

\(\alpha =x=\frac{e^{-\frac{1}{2}\log 3}-e^{\frac{1}{2}\log 3}}{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\) のときも同様にして、

\(\beta =x=\frac{e^{\frac{1}{2}\log 3}-e^{-\frac{1}{2}\log 3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

（３）変数置換して、

　　 \(\int _{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}ydx=\int _{-\frac{1}{2}\log 3}^{\frac{1}{2}\log 3}\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\times \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}dt\) 　

　　　　　　　　 \(=\frac{1}{4}\int _{-\frac{1}{2}\log 3}^{\frac{1}{2}\log 3}(e^{2t}+2+e^{-2t})dt=\frac{1}{2}\log 3+\frac{2}{3}\)

※ハイパブリック・サイン、ハイパブリック・コサイン
ハイパブリック・タンジェントは、

\(\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\tanh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\)

と定義します。懸垂線を英語で、カテナリーと言います。

The Taylor series of sinx=x-\(x^{3}\)/3!+\(x^{5}\)/5!-\(x^{7}\)/7!...
The Taylor series of sinhx=x+\(x^{3}\)/3!+\(x^{5}\)/5!+\(x^{7}\)/7!...
Generalliy speaking,
f(x)=a0+a1*x+a2*\(x^{2}\)+a3*\(x^{3}\)+...,
hyperbolic function of f is defined
by b0+b1*x+b2*\(x^{2}\)+b3*\(x^{3}\)+... where bi=|ai| .

x = cosh t,
y = sinh tと置くと, \(e^{x}\) で書いた式から容易に計算できるように
\(x^{2}\) - \(y^{2}\) = 1
です。これは直角双曲線なので,
双曲線函数 (hyperbolic function, 双曲線は hyperbola)
と呼ばれるのでした。
これは x = sin t, y = cos t と置くとき \(x^{2}\) + \(y^{2}\) = 1 となる
ことの類似です。

懸垂線 (catenary) は (線密度) 一様な紐などの両端を
固定してぶら下げると出来る曲線です。
例えば電線や, ネックレスなどは懸垂線を描いている
(筈) です。
このことは変分法などを用いて確かめることが出来ます。

ところで三角函数の逆函数は, 例えば y = sin x の逆函数は
y = arc sin x
等と描かれますが, これは x に対応する, 単位円周の長さ
(つまり弧長 arc)が y であるからです。
これに対応して \(x^{2}\) - \(y^{2}\) = 1 上の点 P(cosh t, sinh t)
を考えると
線分 OP と双曲線と x 軸で囲まれる部分の面積が \(\frac{t}{2}\) になります。
それ故 t = area cosh x = area sinh y 等と書きます。
(誤って arcsinh 等としている site もある)