ベクトルの内積は 「・」 で書きましょう。
「×」 は 「外積」 という積に用いる記号です。
面倒なのでベクトルの記号「→」を省略する。

第二余弦公式から
B\(C^{2}\) = A\(B^{2}\) + A\(C^{2}\) - 2AB・AC cos ∠CAB
16 = 4 + 9 - 2・2・3cos ∠CAB
故に cos ∠CAB = -\(\frac{1}{4}\).
∴b・c = 2・3 cos ∠CAB = -\(\frac{3}{2}\).

(1) AL = αc, 0 ＜ α ＜ 1 と置く。
BL = αc - b
cos ∠ABL = (BL・BA)/(|BL||AB|) = (αc - b)・(-b)/(2|BL|)
= (-αb・c + \(b^{2}\))/(2|BL|)
= (3α/2 + 4)/(2|BL|) = (3α + 8)/(4|BL|).
又
cos ∠CBL = (BL・BC)/(|BL||BC|) = (αc - b)・(c - b)/(4|BL|)
= (α\(c^{2}\) -(α + 1)b・c + \(b^{2}\))/(4|BL|)
= (9α + 3(α + 1)/2 + 4)/(4|BL|) = (21α + 11)/(8|BL|)
よって ∠ABL = ∠CBL より
(3α + 8)/(4|BL|) = (21α + 11)/(8|BL|).
∴α = \(\frac{1}{3}\). (適)
即ち
AL = (\(\frac{1}{3}\))c.
[実は BL が角の二等分線だから AL : LC = AB : BC が分かっている]

△ABL で同様に考えて BI : IL = 2 : 1.
従って
AI =(b + 2(\(\frac{c}{3}\)))/3 = (3b + 2c)/9.

(2) 上記のように b・c = -\(\frac{3}{2}\).

(3) 0 = p・AB = (b + kc)・b
= \(b^{2}\) + kb・c
= 4 - 3\(\frac{k}{2}\)
∴k = \(\frac{8}{3}\)
0 = q・AC = (b + lc)・c
= b・c + l\(c^{2}\)
= -\(\frac{3}{2}\) + 9l
∴l =1/ 6.
AO = \(\frac{b}{2}\) + αp = \(\frac{c}{2}\) + βq
と書ける。
b + 2αp = c + 2βq
b + 2α(b + 8\(\frac{c}{3}\)) = c + 2β(b + \(\frac{c}{6}\))
(2α + 1)b + (16α/3)c = 2βb + (β/3 + 1)c
b と c は平行ではないから
2α + 1 = 2β,
16α/3 = β/3 + 1
α = \(\frac{7}{30}\), β = \(\frac{11}{15}\)
故に
AO = (33b + 28c)/45.

参考:
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsa\(\frac{t}{m}\)is\(\frac{c}{m}\)at\(\frac{h}{c}\)entr\(\frac{e}{i}\)ndex.html