質問

△ＡＢＣにおいて，ＡＢ＝２，ＢＣ＝４，ＣＡ＝３とし，
　　→＝→，→＝→とする。
　　AB　ｂ　AC　ｃ
(1)∠ＡＢＣの二等分線と辺ＡＣとの交点をＬとするとき，
　　→を求めよ。また、∠ＢＡＣの二等分線と線分BL
　　AL
　　の交点(△ＡＢＣの内心)をＩとするとき、
　　ＢＩ：ＩＬの比（ただし、最も簡単な整数比で答えよ）と、
　　→を
　　AI
　　求めよ。
（２）→　→を求めよ。
　　　ｂ×ｃ
（３）→　→　　→　→　→　　→
　　　ｐ＝ｂ＋ｋｃ、ｑ＝ｂ＋ｌｃ　（ｋ、ｌは実数）
　　とおく。
　　→　→　　　　　　→　→
　　ｐ⊥ABのときのｋ、q ⊥ACのときのｌを求めよ。
　　また、辺ＡＢ,辺ＡＣの垂直二等分線の交点（△ＡＢＣの外心）をＯと
　　するとき→を求めよ。
　　　　　　AO

お便り２００３／１／２８
from=phaos

ベクトルの内積は 「・」 で書きましょう。
「×」 は 「外積」 という積に用いる記号です。
面倒なのでベクトルの記号「→」を省略する。

第二余弦公式から
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB・AC cos ∠CAB
16 = 4 + 9 - 2・2・3cos ∠CAB
故に cos ∠CAB = -1/4.
∴b・c = 2・3 cos ∠CAB = -3/2.

(1) AL = αc, 0 ＜ α ＜ 1 と置く。
BL = αc - b
cos ∠ABL = (BL・BA)/(|BL||AB|) = (αc - b)・(-b)/(2|BL|)
= (-αb・c + b^2)/(2|BL|)
= (3α/2 + 4)/(2|BL|) = (3α + 8)/(4|BL|).
又
cos ∠CBL = (BL・BC)/(|BL||BC|) = (αc - b)・(c - b)/(4|BL|)
= (αc^2 -(α + 1)b・c  + b^2)/(4|BL|)
= (9α + 3(α + 1)/2 + 4)/(4|BL|) = (21α + 11)/(8|BL|)
よって ∠ABL = ∠CBL より
(3α + 8)/(4|BL|) = (21α + 11)/(8|BL|).
∴α = 1/3. (適)
即ち
AL = (1/3)c.
[実は BL が角の二等分線だから AL : LC = AB : BC が分かっている]

△ABL で同様に考えて BI : IL = 2 : 1.
従って
AI =(b + 2(c/3))/3 = (3b + 2c)/9.

(2) 上記のように b・c = -3/2.

(3) 0 = p・AB = (b + kc)・b
= b^2 + kb・c
= 4 - 3k/2
∴k = 8/3
0 = q・AC = (b + lc)・c
= b・c + lc^2
= -3/2 + 9l
∴l =1/ 6.
AO = b/2 + αp = c/2 + βq
と書ける。
b + 2αp = c + 2βq
b + 2α(b + 8c/3) = c + 2β(b + c/6)
(2α + 1)b + (16α/3)c = 2βb + (β/3 + 1)c
b と c は平行ではないから
2α + 1 = 2β,
16α/3 = β/3 + 1
α = 7/30, β = 11/15
故に
AO = (33b + 28c)/45.

参考:
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/centre/index.html