３次方程式

\(x^{^{3}}-(m-2)x^{^{2}}+(m+11)x+(2m+10)=0\)

として、１実数解２虚数解をもつと考えると、

３次方程式の判別式＜７３１＞より、変形して、

\(y^{^{3}}+\frac{-m^{^{2}}+7m+29}{3}y+\frac{4m^{^{3}}-15m^{^{2}}+183m+40}{27}=0\)

判別式 \(R=(\frac{n}{2})^{^{2}}+(\frac{m}{3})^{^{3}}>0\) 　のとき、１実数解２虚数解をもつから

\(R=(\frac{4m^{^{3}}-15m^{^{2}}+183m+40}{54})^{^{2}}+(\frac{-m^{^{2}}+7m+29}{9})^{^{3}}\)

\(=\frac{1}{2916}\{ (4m^{^{3}}-15m^{^{2}}+183m+40)^{^{2}}+4(-m^{^{2}}+7m+29)^{^{3}}\}\)

………ここで、挫折！！！ヘルプ………

\(x^{3}\) -(m-2)\(x^{2}\)+(m+11)x+2m+10 = 0 --- (1)

(mを定数とする)

このとき実数解αと絶対値β、γを持つときのｍの値を求めよ。
また複素数平面上でP(β)、Q(γ)とする時三角形PQRが正三角形と
なる複素数zを求めよ。

ということですが、x = -1が方程式(1)の解となっていることに
気づけば、後は自然と解けると思います。

(1) ＜＝＝＞ (x + 1)(\(x^{2}\) + (1-m)x + 2m + 10) = 0

x = -1が実数解ですから、残りの２次方程式は
複素数解をもつわけです。