マグロウヒル大学演習「微積分（下）」を参照しました。

４１８ページに、楕円積分という項があり、その「第２種完全楕円積分」と言うのが

この問にあたります。

\(E(k)=\int _{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-k^{^{2}}\sin ^{^{2}}\theta }d\theta\) 0<k<1

\(x=k^{^{2}}\sin ^{^{2}}\theta\) とおくと、

\(\sqrt{1-k^{^{2}}\sin ^{^{2}}\theta }=\sqrt{1-x}=(1-x)^{^{\frac{1}{2}}}\)

２項定理より、

\((1-x)^{^{\frac{1}{2}}}=1+\frac{1}{2}(-x)+\frac{\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{2})}{2!}(-x)^{^{2}}+\frac{\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{3!}(-x)^{^{3}}+\cdots\)

\(=1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{^{2}}-\frac{1}{16}x^{^{3}}-\cdots\)

したがって、

\(E(k)=\int _{0}^{\frac{\pi }{2}}\)

\(=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}k^{^{2}}\int _{0}^{\frac{\pi }{2}}\)

\(=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{8}k^{^{2}}-\frac{3\pi }{128}k^{^{4}}-\frac{5\pi }{512}k^{^{6}}-\cdots\) （答）

※楕円の周の長さ＜７０＞を参照してください。