（Ⅰ）

\((1-2x^{^{2}}y)dx+x(2y-x^{^{2}})dy=0\)

微分方程式の完全形の積分因子をもつ場合なので、

公式―――――――――――――――――――――――――――

Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ＝０のとき、

\(\frac{1}{Q}(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})=f(x)\) ならば、

積分因子 \(\lambda (x)=e^{^{\int f(x)dx}}\) 　をかけて

λＰｄｘ＋λＱｄｙ＝０として、完全形の微分方程式を解く。

このあとは、＜１１９２＞の公式を使う。

―――――――――――――――――――――――――――――

\(\frac{1}{Q}(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})=\frac{1}{x(2y-x^{^{2}})}\{ -2x^{^{2}}-(2y-3x^{^{2}})\} =\frac{x^{^{2}}-2y}{-x^{^{3}}+2xy}=-\frac{1}{x}\)

\(\int f(x)dx=\int (-\frac{1}{x})dx=-\log \vert x\vert +C\)

\(\lambda (x)=e^{^{\int f(x)dx}}=e^{^{-\log \vert x\vert +C}}=\frac{C}{x}\)

\(\lambda Pdx+\lambda Qdy=\frac{C}{x}(1-2x^{^{2}}y)dx+\frac{C}{x}(2xy-x^{^{3}})dy=0\)

\((\frac{1}{x}-2xy)dx+(2y-x^{^{2}})dy=0\)

\(\frac{\partial \lambda P}{\partial y}=-2x,\frac{\partial \lambda Q}{\partial x}=-2x\) より、

\(\int \lambda Pdx=\int (\frac{1}{x}-2xy)dx=\log \vert x\vert -x^{^{2}}y+C\)

\(\frac{\partial }{\partial y}\int \lambda Pdx=\frac{\partial }{\partial y}(\log \vert x\vert -x^{^{2}}y+C)=-x^{^{2}}\)

\(\int (\lambda Q-\frac{\partial }{\partial y}\int \lambda Pdx)dy=\int \{ 2y-x^{^{2}}-(-x^{^{2}})\} dy=y^{^{2}}+C\)

したがって、

\(\log \vert x\vert -x^{^{2}}y+C+y^{^{2}}+C=C\)

\(\log \vert x\vert -x^{^{2}}y+y^{^{2}}=C\) ………（答）

（Ⅱ）

\((x^{^{2}}\cos x-y)dx+xdy=0\)

\(\frac{1}{Q}(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})=-\frac{2}{x}\)

\(\frac{\partial \lambda P}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(C\cos x-C\frac{y}{x^{^{2}}})=-\frac{C}{x^{^{2}}}\)

\(\frac{\partial \lambda Q}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{C}{x})=-\frac{C}{x^{^{2}}}\)

等しいから、完全形より、

\(\int \lambda Pdx=\int (\cos x-\frac{y}{x^{^{2}}})dx=\sin x+\frac{y}{x}+C\)

\(\frac{\partial }{\partial y}\int \lambda Pdx=\frac{1}{x}\)

\(\int (\lambda Q-\frac{\partial }{\partial y}\int \lambda Pdx)dy=\int (\frac{1}{x}-\frac{1}{x})dy=C\)

したがって、

\(\sin x+\frac{y}{x}+C+C=C\)

\(\sin x+\frac{y}{x}=C\) ………（答）