「パイと確率。そして超球…」
の質問させていただいたものです。
おかげさまで、
無事この問題は解決いたしました。

ポイントは
「(確率)/(\(\frac{m}{4}\))からπの推定ができる」
というのを
πの推定でなく
二次元のときの超球の体積V(2)を
推定している
ということに気づくことでした。
（ちなみに
　Ｖ(ｎ)＝半径１のｎ次元超球体積
　で定義しています。）

二次元の話では
面積１の正方形の中の、
扇形（円の面積/４）
すなわちＶ(2)/２^2の
部分にプロットを打つ確率を
、
そして
三次元に拡張すれば
体積１の立方体のなかの
球の体積/８
すなわちV(3)/２^3
にプロットを打つ確率を
考えるということになります。

あるいは
一辺が２の正方形の中の
半径１の円
を考えても
確率は
円/正方形＝V(２)/２^2
で、
それを拡張した
一辺が２の立方体の中の
半径１の球
を考えても
やはり確率は
球/立方体＝V(３)/２^３
となります。

で、既述のどちらの方法でもよいですが、
（後に示した方法のほうがたぶん拡張を考えやすい）
これをｎ次元に拡張すると
確率＝V(n)/\(2^{n}\)
となります。

何次元になっても
一回の試行は、ベルヌーイ試行だから、
二項分布
b(ｍ,V(n)/\(2^{n}\))
を考えればそれでいいということになります。
（ｍ＝プロット数）

それで
期待値＝ｍ＊（V(n)/\(2^{n}\)）
ですから、
n次元球の超体積の体積は
シュミレーションで求めた確率を
　ｐ　とすれば
V(n)＝ｐ/(m/\(2^{n}\))
で推定できることになります。

ちなみに
半径１の超球体積＝π^(\(\frac{n}{2}\)) /Γ(\(\frac{n}{2}\)+1)
の式ですが、この問題を解く上では
これを知っている必要はないです。

ただ理論値としてこの値になるということを
知っていれば、
推定したときに確認できるということです。

二次元から五次元までの
超球体積をパソコンを用いて推定したところ
以下のようになりました。
左のVが理論値で、
右のEVがシュミレーションによる推定値です。

V EV
二次元 3.1415927 3.1404800


V EV
三次元 4.1887902 4.1750400


V EV
四次元 4.9348022 4.9337600


V EV
五次元 5.2637890 5.3004800


なお、理論値、
半径１の超球体積＝π^(\(\frac{n}{2}\)) /Γ(\(\frac{n}{2}\)+1)
ですが、
これは漸化式
Ｖ(n)/Ｖ(n-1)
=Γ(\(\frac{1}{2}\))Γ{(n+1)/2}/Γ(\(\frac{n}{2}\)+1)
=B(\(\frac{1}{2}\),(n+1)/2)
(あるいは、Ｖ(n)/Ｖ(n-2)=2π/n )
によって求まります。

そしてこれは
質問＜１６４＞９９／８／１６
from=坂田「４次元的な球の体積」にある
「…加えていえば，ｎ次元球の体積と（ｎ＋１）次元球の体積には
何か関係式はあるのでしょうか？」
の答えに対応しているように思われます。

それでは失礼いたします。