質問＜１７５５＞参照

UnderBirdです

\(e^{x}\)-1=hとおくと、
x→0のときh→0で、x=log(h+1) [底は以下自然対数e]となるから

lim h→0 \(\frac{h}{l}\)og(h+1)=1
であることを用いる。
さて、\(a^{x}\)-1=tとおくと、
x→0のときt→0で、
底の変換公式よりx=log(t+1)/log a
よって、(a>0,a≠1のとき)
lim x→0 (\(a^{x}\)-1)/xは、lim t→0 t*log \(\frac{a}{l}\)og(t+1)=log a
となります。

\(a^{x}\)=e^(xloga)だから、
(\(a^{x}\)-1)/x=[(e^(xloga)-1)/x](log\(\frac{a}{l}\)oga)
=[e^(xloga)-1)/xloga]loga
->loga (as x->0)