質問＜２２６５＞２００５／４／３
from=rina
「積分」

放物線y=x^2-xと直線x=aはa>2において交わるものとする。
放物線と直線y=xで囲まれた部分の面積をＳ1、放物線と2直線y=x、x=aで
囲まれた部分の面積をＳ2とする。
Ｓ1=Ｓ2となるようなaの値を求めよ。

わからないので、教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２００５／４／８
from=亀田馬志

僕も良く分かりません(笑)。
で、しょうがないんで、一緒に考えてみましょうか。
まず『お絵かき』しましょう。要するに図を書いてみるんです。『理数系教科』では
『図を描く』のは必須です。確かにメンド臭いんですがね(苦笑)。ただ、ピカソみた
いなデッサン力は必要ないハズなんで、大体ラフなスケッチ程度でイイと思います。
もっとも僕は結構絵は上手いです(笑)。余計な自慢でしたね(笑)。
まず、情報を整理しましょう。

･y=x^2-x

この放物線を書き換えると次のようになるハズです。

･ｙ＝(ｘ－1/2)＾2－1/4

つまり(僕にとって)懐かしい言い方をすると、この放物線は頂点が(1/2,－1/4)の
『下に凸の』放物線ですね。ハイ、描いて下さい。
描くとき注意するのはこの放物線は原点(0,0)を通過する、って事です。式見れば
分かりますよね?
ｘ＝0のトキ、

･ｙ＝0＾2－0＝0

なのは明らかだからです。描けたでしょうか?
次にそのグラフにｙ＝ｘと言う直線を重ねて書いてみましょう。この直線も『原点
を通過』するのは明らかですよね?そこから右肩上がりに直線を引いて行けばいい
です。あ、別に定規使わんでイイですよ。大体でイイです。
まずここまで描いて分かるのはこの2つの関数は

①原点で交わる
②右の方で(正確には数学的には“第1象限”で、時計的には2時の方角で、地図的
には北東で、)もう一点交わる場所がある

と言う事です。要するに『交点を2つ持つ』ってのが分かるワケです。
じゃあ、その『交点』を具体的に求めてみましょうか。求め方は簡単ですよね。

･y＝ｘ^2-ｘ･･･①
･y＝ｘ･･･②

②式を①式に代入してｘに付いて解いてみればイイんですよね?解いてみます。

･ｘ^2-ｘ＝ｘ
･ｘ^2-2ｘ＝0
･ｘ(ｘ－2)＝0
∴ｘ＝0または2

ｘ＝0ってのは原点の方ですよね。コレは初めっから分かってました。もう一つの
交点のｘ座標ってのが2だ、ってのがココで分かるワケです。ついでに言うと、
問題文に

＞放物線y=x^2-xと直線x=aはa>2において交わるものとする。

とか書いてあったんで、ある種『ああ、コレはネタなんだな』ってのが分かり
ます(笑)。
つまりｘ＝aて縦の直線は(ｙ軸に平行、って意味ですけれども)今求めた交点(2,2)
より『右に無いといけない』って事なんです。ここまでイイでしょうか?取りあえず
どこでもイイんで、2つ目の交点より右に縦に直線をｙ軸に平行にすーっと引いてみ
てください。これで準備完了です。

＞放物線と直線y=xで囲まれた部分の面積をＳ1

ゴチャゴチャ言うより取りあえずココを求めてみましょう。図で言うと、ｙ＝ｘと
y＝ｘ^2-ｘに挟まれた部分(原点と点(2,2)が境界です)に斜線でも引いておいてくだ
さい。別に色鉛筆で色塗っても構いませんが、そこの部分の面積がＳ1です。
注意するのは、ｙ＝ｘってグラフはｙ＝ｘ^2－ｘより『上に』来てますよね?来てな
きゃ困ります(笑)。デッサン力以前の問題になります(笑)。
もうちょっと数学的に言うと、0＜＝ｘ＜＝2の範囲ではｘ＞＝ｘ^2－ｘって事です。
まあ、当たり前ですよね。
さて、ココで次の公式を使います。a＜＝ｘ＜＝bの範囲でf(x)＞＝ｇ(x)の時、f(x)と
g(x)で囲まれた部分の面積Sは

･S＝∫_a^b{f(x)－g(x)}dx

で求められる、って事です。よって素直にこの公式を適用してみましょう。

･Ｓ1＝∫_0^2　{ｘ－(ｘ^2－ｘ)}dx
　　＝∫_0^2　(2ｘ－ｘ^2)dx
　　＝ｘ^2－(ｘ^3)/3|_0^2
　　＝2^2－(2^3)/3－{0^2－(0^3)/3}
　　＝4/3

というワケで面積Ｓ1は4/3って事が分かりました。

＞放物線と2直線y=x、x=aで囲まれた部分の面積をＳ2とする。

これはご自分でやって頂きたいんですが、図を見て下さい。ｘ＞＝2の範囲では
ｘ^2－x＞xです。つまりｙ＝ｘ^2－ｘがｙ＝ｘより『上に』来ているハズです。
来てなきゃ困ります。来てなきゃデッサン力･･･もうイイですね(苦笑)。
積分範囲はｘ＝2からｘ＝aの範囲までです。よってＳ2は

･Ｓ2＝∫_2^a　(ｘ^2－x－ｘ)dx
　　＝∫_2^a　(ｘ^2－2x)dx
　　＝(ｘ^3)/3－ｘ^2|_2^a
　　＝(a^3)/3－a^2－{(2^3)/3－2^2}
　　＝(a^3)/3－a^2＋4/3

となります。

＞Ｓ1=Ｓ2となるようなaの値を求めよ。

つまりＳ2＝4/3となればイイワケですね。
よって次の方程式を解きます。

･(a^3)/3－a^2＋4/3＝4/3
･(a^3)/3－a^2＝0
･(a－3)*a^2/3＝0
∴a＝0または3

と二つの値(正確には3つなんですが)が出てきました。
ここで最初の条件

＞放物線y=x^2-xと直線x=aはa>2において交わるものとする。

より、2より大きい値は3しか無いです。よって

･a＝3

ってのが答えになります。