質問＜２３７４＞に解答があります。
a(1)=C,a(n+1)=\(\sqrt{\quad}\)(a(n)+2)
lima(n)=xとすると、x=\(\sqrt{\quad}\)(x+2)
\(x^{2}\)=x+2
\(x^{2}\)-x-2=0
(x-2)(x+1)=0
x=2,-1第２項から先はa(n)＞0だからlima(n)=2

アドバイスありがとうございます。
どうも解法の流れがわかりません。
以前の質問・回答と今回、回答いただいた、２つをあわせた形でアドバイスを
いただきたく思います。
どうぞよろしくお願いいたします。

＞一般項はわかりませんが、極限値は２です。
＞漸化式の両辺から２を引きその絶対値を取って、
＞右辺を分母の有理化の逆の操作から、
＞|ａ(n+1)－２|＜0.5|ａ(n)－２|を得ることからみちびけます。

＞a(1)=C,a(n+1)=\(\sqrt{\quad}\)(a(n)+2)
＞lima(n)=xとすると、x=\(\sqrt{\quad}\)(x+2)
＞\(x^{2}\)=x+2
＞\(x^{2}\)-x-2=0
＞(x-2)(x+1)=0
＞x=2,-1
＞第２項から先はa(n)＞0だから
＞lima(n)=2

まず、極限値があるか、ないかを確かめます。
もし、極限値が存在すると確認できているなら、
lim[n→∞] a(n+1)=lim[n→∞] a(n)=αだから、
α=\(\sqrt{\quad}\)(α+2)を解けば、極限値が求められます。

では、極限値が存在するかわからない場合は、
１つは一般項a(n)を求めてから、n→∞とすれば良いですね。
しかし、一般項が具体的に求められなくても不等式による評価で極限値を
求められるものもあるということです。
（しかし、上で述べたようにある程度極限値の存在を確認した上で以下の
不等式を作っているので、その辺は頭の中で考えている順序と解答は逆に
なっていて、初めて解答を見ると不思議な気がするものになります。
その辺は早く慣れてしまって下さい）

a(n+1)-2=\(\sqrt{\quad}\)(a(n)+2)-2
　ここで、分母分子に\(\sqrt{\quad}\)(a(n)+2)+2を掛けると
={a(n)－2}/{\(\sqrt{\quad}\)(a(n)+2)+2}
　\(\sqrt{\quad}\)(a(n)+2)+2≧2より
　　　　≦{a(n)-2}／2
よって、a(n)-2≦{a(n-1)-2}／2
　　　　　　　≦{a(n-2)-2}／\(2^{2}\)
≦{a(n-3)-2}／\(2^{3}\)
・・・・・・
　　　　　　　≦{a(1)-2}／2^(n-1)
よって、n→∞とすると。右辺→0
すなわち、a(n)-2→0
∴lim[n→∞]a(n)=2　となる。
上の不等式は普通絶対値を付けて書くことが多いです。

極限値の存在を確認せずαを求めようとすると
例えば、a(n+1)=2a(n)+1 , a(1)=1のような数列は、∞に発散するのもかかわらず、
α=2α+1を解くと、α=－1となるので注意です。

UnderBirdさんの回答で、なぜ両辺から２を引くのでしょうか？
教えてください。

両辺からなぜ2を引くのかという質問ですが、もう少し具体的に教えてください。
２は何か　という部分は前回説明しました。
なぜ極限値２を引くのかということでしたら、
lim(n→∞)a(n)=2　⇔　lim(n→∞)|a(n)-2|=0
そして、|a(n+1)-2|=ｋ|a(n)-2| (-1＜k＜1)
と変形できれば
|a(n)-2|=k^(n-1)|a(1)-2|より
lim(n→∞)|a(n)-2|=0を導ける。

または、もっと違う部分の質問でしょうか？

前の前ののUnderBirdさんの解答の前段で、次のように述べています。
--------------------------------------------------------
まず、極限値があるか、ないかを確かめます。
もし、極限値が存在すると確認できているなら、
lim[n→∞] a(n+1)=lim[n→∞] a(n)=αだから、
α=\(\sqrt{\quad}\)(α+2)を解けば、極限値が求められます。

では、極限値が存在するかわからない場合は、
１つは一般項a(n)を求めてから、n→∞とすれば良いですね。
しかし、一般項が具体的に求められなくても不等式による評価で極限値を
求められるものもあるということです。
（しかし、上で述べたようにある程度極限値の存在を確認した上で以下の
不等式を作っているので、その辺は頭の中で考えている順序と解答は逆に
なっていて、初めて解答を見ると不思議な気がするものになります。
その辺は早く慣れてしまって下さい）
--------------------------------------------------------
特に最後の（　）の中の「早く慣れて」につきるでしょう。
lim[n→∞] a(n+1)=lim[n→∞] a(n)=αとおくと、
ｎ→∞のとき、
ａ（ｎ＋１）＝\(\sqrt{\quad}\)〔ａ（ｎ）＋２〕は、
α=\(\sqrt{\quad}\)(α+2)
となるから、これを解いて、α＝２，－１
ａ（１）＝Ｃ（Ｃ≧－２をみたす定数）より、
ｎ＞２のとき、ａ（ｎ）＞０
したがって、α＞０より、α＝２

そこで本当に２が極限値になるかは、変形によって確認するわけですが、
そのとき、「引く２（αの数値）」とおくのがコツなのです。
理由は、前ののUnderBirdさんの解答にある
--------------------------------------------------------
lim(n→∞)a(n)=2　⇔　lim(n→∞)|a(n)-2|=0
--------------------------------------------------------
からきています。

やはり、まず最初に極限値が存在することを示す必要があると思います。
そうすると、それをαとしたらα=\(\sqrt{\quad}\)(α+2)だからα＝２という単純な話に
なりますよね。

Cとなっているのが曲者で、C と 2 の大小関係で場合分けが必要です。
　C ＜ 2　⇒　数列{\(a_{n}\)}は単調増加で、上に有界
　C ＝ 2　⇒　　　　　　 \(a_{n}\) = 2
　C ＞ 2　⇒　　　　　　 単調減少で、下に有界
だから数列{\(a_{n}\)}に極限値は存在します。

証明のヒント。
例えば、C ＜ 2 の場合、\(a_{n}\) ＜ 1+2^(\(\frac{1}{2}\)) を数学的帰納法で証明すると
上に有界であることが言えますし、単調増加は a_(n+1)=(2 + \(a_{n}\))^(\(\frac{1}{2}\))
の両辺を２乗したものと　\(a_{n}\)=(2 + a_(n-1))^(\(\frac{1}{2}\)) の両辺を２乗したものの
辺々の差をとって、因数分解した式から考えると見えるでしょう。