クンマーの因数分解は、
ｘ^n－ｙ^n＝(x-y)(x-ζ・y)(x-ζ^2・y)…(x-ζ^(n-1)・ｙ)
ただし、ζ^n＝１より、ζ＝cos(2π/n)＋ｉsin(2π/n)
（ζはゼータと読む。英語のＺにあたる）

以上より、複素数の範囲まで広げれば、次の５つに因数分解される。
ｘ^5－１
＝ｘ^5－１^5
＝(ｘ－１)(ｘ－ζ)(ｘ－ζ^2)(ｘ－ζ^3)(ｘ－ζ^4)

ζ^5＝１より
ζ＝cos(2π/5)＋ｉsin(2π/5)
　＝cos７２°＋ｉsin７２°
ζ^2＝cos１４４°＋ｉsin１４４°
ζ^3＝cos２１６°＋ｉsin２１６°
ζ^4＝cos２８８°＋ｉsin２８８°

因数分解の範囲が実数だから
ζとζ^4は、cos７２°＝cos２８８°、sin７２°＝－sin２８８°
ζ^2とζ^3は、cos１４４°＝cos２１６°、sin１４４°＝－sin２１６°
したがって、次の２つずつを組み合わせれば
(ｘ－ζ)(ｘ－ζ^4)＝ｘ^2－（ζ＋ζ^4）ｘ＋ζ^5
　　　　　　　　　＝ｘ^2－２cos７２°・ｘ＋１
　　　　　　　　　　　　　　　－１＋\(\sqrt{\quad}\)５
　　　　　　　　　＝ｘ^2－２・―――――・ｘ＋１
　　　　　　　　　　　　　　　　　４
　　　　　　　　　　　　　１－\(\sqrt{\quad}\)５
　　　　　　　　　＝ｘ^2＋――――・ｘ＋１
　　　　　　　　　　　　　　２

(ｘ－ζ^2)(ｘ－ζ^3)＝ｘ^2－（ζ^2＋ζ^3）ｘ＋ζ^5
　　　　　　　　　　＝ｘ^2－２cos１４４°・ｘ＋１
　　　　　　　　　　　　　　　　－１－\(\sqrt{\quad}\)５
　　　　　　　　　　＝ｘ^2－２・―――――・ｘ＋１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　４
　　　　　　　　　　　　　　１＋\(\sqrt{\quad}\)５
　　　　　　　　　　＝ｘ^2＋――――・ｘ＋１
　　　　　　　　　　　　　　　２
ただし、
　　　　　－１＋\(\sqrt{\quad}\)５
cos７２°＝―――――　←＜１０７９＞参照
　　　　　　　４

cos１４４°＝cos２・７２°＝２co\(s^{2７２}\)°－１
　　　　　　　　－１＋\(\sqrt{\quad}\)５
　　　　　＝２（―――――）^2－１
　　　　　　　　　　４
　　　　　　６－２\(\sqrt{\quad}\)５
　　　　　＝―――――　－　１
　　　　　　　　８
　　　　　　－１－\(\sqrt{\quad}\)５
　　　　　＝―――――
　　　　　　　　４

したがって、
　　　　　　　　　　　　　　１－\(\sqrt{\quad}\)５　　　　　　　　　１＋\(\sqrt{\quad}\)５
ｘ^5－１＝（ｘ－１）（ｘ^2＋――――・ｘ＋１）（ｘ^2＋――――・ｘ＋１）
　　　　　　　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　　　２