質問＜２６１４＞にあります。

以前、質問をさせていただいた続きですが・・・

４数から成る集合が閉じていれば、{1，－1，i，－i}
になることを1，ｂ，ｂ2，ｂ3，ｂ4（数字は累乗のこと）を用いて証明せよ。

が、どのように展開して導けばよいのか、理解できません。
教えてください。よろしくお願い致します。

何度も質問がきているようなので、ミスがないように丁寧にやります(=^・^=)

[解]
４数からなる集合Ｂが乗法と除法に関して閉じてる…①
まずBは①により0を元に持たないことに注意する

∀a∈Bに対し\(\frac{a}{a}\)=1だから、①より1∈B

さて１以外のBの元の一つをｂとおくと

①より{1,b,\(b^{2}\),\(b^{3}\),\(b^{4}\)}⊆Bだから、

1,b,\(b^{2}\),\(b^{3}\),\(b^{4}\)の少なくとも一つは一致する
ここで、b≠1よりb≠\(b^{2}\),\(b^{2}\)≠\(b^{3}\),\(b^{3}\)≠\(b^{4}\)に注意すると
1=\(b^{2}\),1=\(b^{3}\),1=\(b^{4}\),b=\(b^{3}\),b=\(b^{4}\),\(b^{2}\)=\(b^{4}\)
i.e.
1=\(b^{2}\),1=\(b^{3}\),1=\(b^{4}\)

(i)\(b^{2}\)=1のとき
　b≠1だからb=-1
　∴ｃ∈B ∧ｃ≠\(\pm\)1…②　なるｃが存在
　すると(-1)・c=－c∈Bで,ｃ≠\(\pm\)1より-ｃ≠\(\pm\)1だから
　\(\pm\)1,\(\pm\)c　は異なる４数
　よって①より\(c^{2}\)=\(\pm\)1,\(\pm\)c これと②よりc=\(\pm\)i
i.e. B={\(\pm\)1,\(\pm\)i}が必要

(ii)\(b^{3}\)=1
b≠1だからb=ω　（\(x^{3}\)=1の虚根の一つをωとすると他方はω^2で、
　それらは互いに共役であることは既知とします）
　　明らかにω^2∈B なので
　c∈B ∧ｃ≠1,ω,ω^2…②なるcが存在せねばならない
するとcω＝1,ω,ω^2,c(≠0)
すなわち c=ω^2,1,ω またはω=1
これは矛盾　よって\(b^{3}\)=1の時①は成立しない

(iii)\(b^{4}\)=1のとき
　　b=-1,\(\pm\)i
b=-1なら(i)で示したごとく残りは\(\pm\)i
　　b=iなら \(b^{2}\)=-1 と残りは -i
b=-iなら \(b^{2}\)=-1 と残りは i
いずれにせよB={\(\pm\)1,\(\pm\)i}が必要

十分性は明らかなので
以上より
　　　①⇔B={\(\pm\)1,\(\pm\)i}

たびたびお世話になります。

質問＜２９６７＞で、せっかく解答をいただいたのですが、その解答では正答として
満たせないようなのです。

正答への方向性としては、
ｂ≠1より、ｂ≠ｂ（2）〔（）は累乗を表す〕
ｂ（2）≠ｂ（3），ｂ（3）≠ｂ（4）に注意すると、
1＝ｂ（2），1＝ｂ（3），1＝ｂ（4），ｂ＝ｂ（3），
ｂ＝ｂ（4），ｂ（2）＝ｂ（4）より、従って、ｂは
1，－1，ω（2つ），i，-iで、Ｂの数の候補がわかる・・・の流れなのですが、
この後、どう展開してよいのかわかりません。

解答、よろしくお願いいたします。

>質問＜２９６７＞で、せっかく解答をいただいたのですが、その解答では正答として
>満たせないようなのです。

どうも済みませんでした

具体的にどのような注意をされたのでしょうか？教えていただければ幸いです


>正答への方向性としては、
>ｂ≠1より、ｂ≠ｂ（2）〔（）は累乗を表す〕
>ｂ（2）≠ｂ（3），ｂ（3）≠ｂ（4）に注意すると、
>1＝ｂ（2），1＝ｂ（3），1＝ｂ（4），ｂ＝ｂ（3），
>ｂ＝ｂ（4），ｂ（2）＝ｂ（4）より、従って、ｂは
>1，－1，ω（2つ），i，-iで、Ｂの数の候補がわかる・・・の流れなのですが、

ここまでは、私の解と同じですよね


>この後、どう展開してよいのかわかりません。

このあとωがＢの数とならないことを示せばいいのでは？

私はそれを示したつもりなんですが、そこで何か注意を受けたのかしら？

お返事お待ちします